严　俊

摘要：本文通过对五道简单、常见却又能说明问题实质的例题的分析和总结，对机械能守恒定律解题的典型错误进行归因归类。

关键词：“陷阱”归类；圆周运动；速度分解；过程“突变”

中图分类号：G633.7 文献标识码：A文章编号：1003-6148(2009)6(S)-0051-2

应用机械能守恒定律时，相互作用的物体间的力可以是变力，也可以是恒力；同时这一定律只涉及系统的初、末状态的物理量，而不需要分析中间过程的复杂变化，使问题处理得到简化。但学生解题时，往往会误入机械能守恒定律方便、简捷的“陷阱”，而忽视对研究对象的受力分析、运动分析和过程分析。

1 与圆周运动相关

例1 如图1，光滑弧形轨道与半径为r的光滑圆轨道相连，固定在同一个竖直面内。将一只质量为m的小球由圆弧轨道上离水平面某一高度处无初速释放。为使小球在沿圆轨道运动时始终不离开轨道，这个高度h的取值范围如何？

典型错解 以圆轨道最高点为零势能点，有mg(h-2r)=0，解得h=2r。

简析 忽视无支承面物体做圆周运动能否过最高点的条件：mg+N=mv2高r，N≥0，v高≥gr。又mg(h-2r)=12mv2高，解得h≥2.5r。但以h≥2.5r作为答案又是不全面的，不能对物体的运动情况做全面分析。思维定势“不脱离轨道”就是能“完成圆周运动”使得漏掉“小球在圆轨道上的往复运动”，漏解h≤r。

例2 如图2中的AOB是游乐场中的滑道模型，它位于竖直平面内,由两个半径都是R的1/4圆周连接而成，它们的圆心O1、O2与两圆弧的连接点O在同一竖直线上。一小球可由弧AO上任意点从静止开始下滑。若小球从开始下滑到脱离滑道过程中，在两个圆弧上滑过的弧长相等，则小球开始下滑时应在圆弧AO上的何处？（用该处到O1的连线与竖直线的夹角表示）。

典型错解 脱离轨道时，

N=0，mg=mv2R，v=gR，①

2mgR(1-cosθ)=12mv2。②

联立①②解得cosθ=3/4。

简析 忽视物体的运动情景已发生变化，死搬硬套v=gR，N=0。

此处脱离轨道受力如图3，mgcosθ-N=mv2R，N=0，v=gRcosθ。 ③

联立②③解得cosθ=4/5。

2 与速度分解相关

例3 如图4，A、B的质量m瑼=m瑽=3.75kg，C的质量m瑿=1kg，A、B放在处于同一高度的光滑水平台面上，A、B之间用一足够长的轻绳（无弹性）连接，D、E分别是两个大小不计的光滑定滑轮，DE间的距离l=1.2m，现将重物C用一光滑的轻钩挂在绳子DE的中点，开始时用手托住C使绳子水平拉直，然后从静止开始释放C。当 C下落h=0.8m时，求 A、B、C速度v瑼、v瑽、v瑿的大小。

典型错解 A、B、C速度大小相等，由

m瑿gh=12(m瑼+m瑽+m瑿)v2共。

解得v共=2m瑿gh2m瑼+m瑿

=2×1×10×0.82×3.75+1m/s

≈1.37m/s。

简析 由图4可知A、B、C的位移关系可知v瑼=v瑽，

v瑿=12(v瑼cosθ+v瑽cosθ)

=v瑼cosθ

=v瑼hh2+(l/2)2。①

再考虑能量守恒有：

m瑿gh=12m瑿v瑿²+12m瑼v瑼2+12m瑽v瑽2。②

联立解得：

v瑿=1.12m/s，v瑼=v瑽=1.40m/s。

例4 如图6，竖直平面内固定一半径为R的半圆形圆柱截面，用轻质不可伸长且足够长的细线连接A、B两球，质量分别为M、m。现将球A从圆柱边缘处静止释放，已知A球始终不离开球面且不计一切摩擦。求A球滑到最低点时，两球速度的大小？

典型错解

MgR-mg2R=12(M+m)v2共。

简析 A球滑到最低点时，两球速度不等，A球的运动有两实际效果：沿绳方向使绳伸长、垂直于绳方向使绳摆动，因此v瑼在沿绳方向上的投影速度与v瑽相等，如图7所示。

MgR-mg2R=12Mv2瑼+12mv2瑽，

v瑼sin45°=v瑽。

联立解得：

v瑼=2(M-2m)gR2M+m，

v瑽=(M-2m)gR2M+m。

3 与运动过程“突变”相关

例5 如图8所示，一长为L的细绳一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球，开始时，细绳处于水平线上方30°的位置 A点处而伸直，将小球由A静止释放，求通过圆弧最低点C时小球的速度为多大？

典型错解 mgL(1+sin30°)=12mv2。

简析 如图9所示，小球自由下落到与A对称的B点瞬间，小球的运动发生突变，由自由落体变为变速圆周运动，绳瞬间产生张力，小球的机械能不守恒，可认为转化为绳的弹性势能而最终变为内能散失。将v瑽进行分解，v2损失，以v1开始做变速圆周运动。mgL=12mv2瑽，v1=v瑽cos30°，mgL(1-cos60°)=12mv2瑿-12mv21。联立解得：v瑿=52gL。

可见，应用机械能守恒定律分析几个不同物理过程的物体运动，要注意分析每个过程机械能是否守恒，还要分析过程的联结点有无能量损失。只有无机械能损失才能对整体列机械能守恒式，否则只能给出每段对应的守恒关系。对于绳子突然绷紧，子弹打木块，爆炸、打击等非弹性碰撞情况，一般不能直接使用机械能守恒定律。

(栏目编辑陈 洁)