孟拥军

感生电动势起因于磁场的变化，磁场随时间变化时能激发起电场,这种电场叫感生电场或涡旋电场。如图1所示是一圆柱状均匀磁场区的横截面图,截面半径为R。如果磁感应强度B随时间增加，变化率为ΔB/Δt，B的方向如图1所示垂直纸面向里，则磁场中以O点为圆心、以r为半径的导体回路上的感生电动势为：ε=ΔBΔtπr₂(r≤R)，ε=ΔBΔtπR₂(r＞R)。可以证明：导体回路内的涡旋电场的方向沿导体上各点的切线方向(可以用楞次定律来判断)，其大小为E=r2ΔBΔt(r≤R)，E=R₂2rΔBΔt(r＞R)。

需要指出的是，上式仅适用于R为有限值时均匀变化的圆柱形匀强磁场，而且柱形区域外不存在其他磁场。

此类知识的应用在高中物理竞赛中是常考的内容。主要围绕两个方面展开：(1)粒子在涡旋电场中受到的电场力；(2)粒子在涡旋电场中环绕一周电场力的功，W=qε；主要问题有以下三类：

1 圆周运动

例1 一个长的螺线管包括了另一个同轴的螺线管(它的半径R是外面螺线管的一半)。它们的单位长度具有相同的线圈数，且初始时都没有电流。在同一瞬间，电流开始在两个螺线管中线性增长。在任意时刻，里边的螺线管中的电流为外边螺线管中的两倍，它们的方向相同。由于增长的电流，一个初始静止的处于两个螺线管中间的带电粒子，开始沿着一根圆形的轨道运动，如图2所示。问圆的半径r为多少?

分析与解 通电无限长螺线外磁感应强度为0，螺线管内磁感应强度B=μ0nI(其中μ0是真空磁导率，μ0=4π×10-7猅•m/A。n表示单位长度的匝数，I为电流强度)。在t时刻外边螺线管中的电流为I=kt，里边的螺线管中的电流为2I=2kt，其中k是一个常数。由这些电流产生的磁场在外边螺线管中为B=μ0nkt，而在里边螺线管中为3B。半径为r的粒子轨道所包围的磁通量为：Φ=πR₂×2B+πr₂×B=(2R₂+r₂)πμ0nkt。

感生电场大小可以由磁通量随时间的变化率计算得出：E×2πr=ΔΦΔt=(2R₂+r₂)πμ0nk。

因此E=(2R₂+r₂)rμ0nk2。带电粒子由磁场限制在它的圆形轨道上，其向心力由洛伦兹力提供，由向心力公式可得：mv2r=qvB，v=qBrm，粒子在切线方向的合力(Fτ=qE)使它沿着圆形轨道加速，由牛顿第二定律可知：maτ=qE，其中m是质量，q是粒子的电荷量。由于电场的大小恒定，粒子的速度随时间均匀地增加，v=aτt=qEmt=(2R₂+r₂)rμ0nk2qmt，可得：（2R₂+r₂)rμ0nk2qmt=qμ0nktrm所以满足上式的条件为：(2R₂+r₂)2r₂=1，即r=2R。

2 椭圆运动

例2 如图3所示，有一椭圆轨道，其方程：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，正半轴交y轴于C点，交x轴负半轴于A点，以原点为圆心R为半径(R＜b)的区域内有一均匀磁场B1方向垂直纸面向里，B1以速率ΔB1/Δt=k(k为常数)增大。在圆外整个区域有匀强磁场B2，B方向垂直纸面向里。开始时椭圆轨道上的A点有质量为m、电量为q(q＞0)的粒子，它只能在椭圆轨道上无摩擦地运动，若要使粒子通过C点时对轨道无压力，求B2的大小。(已知C点椭圆轨道的曲率半径为R=a2/b)。

分析与解 磁场B1均匀变化空间各点有稳定的涡旋电场，在圆形磁场外，任何以O为圆心的圆周的电动势ε=ΔB1ΔtπR₂=kπR₂，由楞次定律得：涡旋电场的方向为逆时针方向。粒子第1次从A点到C点：由动能定理可得：W=qε=qkπR₂3π/22π=12mv21，第n次到达C点时：

qkπR₂(3π/2+n•2π)2π=12mv2璶，可见，

v璶=qkR₂(32π+n•2π)m，

带电粒子运动的向心力由磁场B2对它的洛伦兹力及轨道的支持力提供。当在C处对轨道的压力为0时，由向心力公式可得：qB2v璶=mv2璶ρ(其中：ρ为C点的曲率半径），即：

qB2•qkR₂(32π+n•2π)m=ba2•qkR₂(3π/2+n•2π)，

有B2=bRa2mkq(2nπ+32π)(n=0、1、2…）。

3 一般曲线运动

例3 人类在宇宙空间发现了一片特殊区域，它的形状可以近似看成一个无限长圆柱，半径为R。在此区域内存在强磁场（可以认为匀强磁场），磁场方向沿圆柱中心轴，如图4所示。由于能量衰竭，它的磁感应强度正逐渐减小，已测得变化率为ΔB/Δt=-k，为了探测它，人类计划发射探测器，探测器没有发动机，但自身带电，带电量Q(Q很大)。计划中，探测器以v0的初速度正对圆柱中心发射，然后在时间t后，在相对于圆柱转过α角(α＜45°）的地方擦柱边而过。为了实现这个计划，v0必须为多大?

分析与解 柱外涡旋电场强度E=kR₂2r璱，r璱为粒子运动轨迹上任意点距圆心的距离。如图5所示，由A到B在其中取一小段曲线长为Δs璱 ，运动时间为Δt璱，设v璱表示运动轨迹上距圆心r璱处沿涡旋电场强度方向上的速度分量，由动量定理可得：QkR₂2r璱Δt璱=mΔv璱，

两边同乘r璱可得：

QkR₂2r璱Δt璱r璱=mΔv璱r璱，

各小段求和可得：ΣQkR₂2Δt璱=ΣmΔv璱r璱，

可得：QkR₂2t=R•mv瑽，

所以：v瑽=kRQt2m。

由A到B在其中取一小段曲线长为Δs璱，则涡旋电场做功：

ΔW璱=QR₂k2r璱Δs璱=QR₂k2r璱r璱Δθ璱，

因此总功为：

W=ΣΔW璱=QR₂k2ΣΔθ璱=QR₂k2•α。

由动能定理可得：W=12mv2瑽-12mv20，即：

12m(kRQt2m)2-12mv20=12kR₂Qα，

解得：v0=(kRQt)24m2-kR₂Qαm。

(栏目编辑罗琬华)