1背景介绍

如图1，复数 bi（a，b∈R） 可用点Z（a，b） 表示，该对应表明，在复平面内，每一个复数有唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.此外，任何一个复数 z=a+bi 都可以表示成r（cosθ + isinθ）的形式，即{α= rcosθ， 其中 r lb = rsinθ，为复数 z 的模， θ 叫做复数 z 的辐角，且规定 0⩽θlt; 2π 范围内的辐角 θ 的值为辐角的主值，记作argz.r（cosθ+isinθ） ）叫做复数 z=a+bi 的三角形式，其中 rgt;0，n∈N^*

图1

设 isinθ₂ ），则由复数的乘法法则及两角和的正弦、余弦公式得 .进一步，若 z₁=r₁（cosθ₁+isinθ₁， ） +（20 isinθ₂），…，z_n=r_n（cosθ_n+isinθ_n） ，则 z₁z₂…z_n= （204号 .特别地，如 isinθ ，则 即复数的 n（n∈N^*） 次幂的模等于这个复数的模的 n 次幂，它的辐角等于复数的辐角的 n 倍，这个结论叫叫棣莫弗定理.该部分在新教材中位于人教 A 版数学必修第二册第七章7.3节（ P83） 以星号选学内容的形式给出了复数的三角形貌.

2 典例分析

随着创新试题研究的进一步发展，该部分内容也成为了关注的热点，例如长沙雅礼中学25届高三月考 （-）T19 第19题，是一道以复数三角形式为背景的数学创新试题，具体如下：

题目（1）已知 ，求

zw+zw³ 的三角形式；（2）已知 θ₀ 为定值， 0≤θ₀≤π ，将复数 1+cosθ₀+

isinθ₀ 化为三角形式；（3）设复平面上单位圆内接正二十边形的20

个顶点对应的复数依次为 z₁，z₂，…，z₂₀ ，求复数 z₁²⁰²⁴

z₂²⁰²⁴，…，z₂₀²⁰²⁴ 所对应不同点的个数.解 （1）zw + zw³ 一 （20 zw（1+w²）= （204号

（+）+（

（3）正二十边形每边所对的中心角为 20，设

z₁=cosθ+isinθ（θ 为常数），则 z_k=（cosθ+isinθ） （ 20，所以 （cos2024 ·

（20 号 由周期性可知， z_k²⁰²⁴ 共有5个不同的值，故复数 z₁²⁰²⁴ ， z₂²⁰²⁴ z₂₀²⁰²⁴ 所对应不同点的个数为5.

3 拓展训练

例1 试利用第1节所介绍的知识解决以下问题

（1）试将 写成三角形式;（2）试应用复数乘方公式推导三倍角公式：sin3θ= 3sinθ-4sin³θ，cos3θ= 4cos³θ-3cosθ （3）记 Z³=1=cos0+isin0 ，由棣莫弗定理得 isinO，从而得 ，我们称复数 为1在复数域内的……