1 试题呈现

题目 （2024年安徽省六校高三开学考试试题）已知椭圆 C （ 的左、右顶点分别为 ^A，B，R 是椭圆 C 上异于 A，B 的动点，满足 ，当 R 为上顶点时， ΔABR 的面积为8.

（1）求椭圆 C 的标准方程;

（2）如图1，过点 M（Σ-Σ6 ，-2）的直线与椭圆 C 交于不同的两点 δD，E（δDδ E 与 ^A，B 不重合），直线 AD ，AE 分别与直线

图1

x=-6 交于 P，Q 两点，求 ∣MP∣⋅∣MQ∣ 的值分析 第（1）问考查椭圆基本知识，易得椭圆

C 的标准方程为

第（2）问考查综合知识，重点考查直线与椭圆的位置关系，以及运用代数方法研究几何问题的基本思想，体现坐标法在解析几何问题中的强大作用，考查逻辑推理和数学运算等素养.第（2）问结论优美，具有很高的探究价值.本文对第（2）问进行深入的探究，以供参考.

2 试题第（2）问求解探究

解法1 易知直线 DE 的斜率存在，设斜率为 k 直线 DE 的方程为 .设 D（x₁，y₁） ，E（Φ_X2，y₂） ，联立 消去 y 并整理得（4k²+1）x²+（48k²-16k）x+144k²-96k=0 由韦达定理得 ，直线 AD 的方程为

令 x=- 6 ，解得 所以丨 MP∣= .

同理得 所以 9，所以 ∣MP∣⋅∣MQ∣ 的值为9.

评注解法1体现了坐标法研究解析几何问题的一般流程，同时也加强了依据图形分析点、线运动的规律的能力.

解法2 设 D（4cosα，2sinα），E（4cosβ，2sinβ）， 则直线 AD 的方程为 （2 .令 x=-6 得 ，则 同理 又因为M，D，E三点共线，则 sina +1 ，展开得 2sin（α-β）+3（sinα-sinβ）-2（cosα- cosβ）=0 ：利用和差化积公式与二倍角公式得 =0，展开得5cos 2cos ，即5 tan 所以 tan =9，故丨MPI·I MQI的值为9.

评注利用椭圆的参数方程，简洁地表示点 P 和 Q 的坐标，避免了直线与曲线联立的繁琐过程，只需要熟悉三角恒等变化即可解题

解法3 设不过点 A（-4，0） 的直线 DE 的方程为 m（x+4）+ny=1 ，因为直线 DE 过点 M（--6 ，-2），则有2m +2n=-1.将椭圆C方程6

1变为 （x+4-4）²+4y²=16 ，展开整理得 （x+4）² -8（x+4）+4y²=0 ，进一步得 （x+4）²-8（x+ 4） [m（x+4）+ny]+4y²=0 ，即 （1-8m）（x+4）² -8ny（x+4）+4y²=0. （20令 ，代人上式得 4k²-8nk+1-8m= 0.设直线 ^AD，AE 的斜率分别为 k₁，k₂ ，则 k₁，k₂ 是这方程的两个根，有……