1 问题呈现与求解

题目 已知在 ΔABC 中，试证明

证法1（三角函数恒等变换与均值不等式）令x=cosC ，由三角函数的相关公式可得 sin²A+sin²B

因为 -1⩽cos（A-B）⩽1 ，当 此时cos（A-B）=1 能取到）时，原式取得最大值为2- ，故

证法2（向量法）设向量 Ψ=（sinB，sinC） ， .则 sin²A+sin²B+ +sinA）²]-（sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA） .又由于 ⋅（sinA+sinB）²+（sinB+sinC）²+（sinC+sinA）² 1⩾2（sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA） ，并且在 ΔABC 中，利用三角函数的和差化积以及三角形内角和关系可证得 所以

证法3（坐标法）以 ΔABC 的外接圆为单位圆，圆心为坐标原点 o 设 A（cosα，sinα） . B（cosβ sinβ ）， C（cosγ，sinγ） ，且 α+β+γ=2kπ（k∈Z ，在三角形中 k=1 .则 sin²A+sin²B+sin²C=sin²α+ （20sin²β+sin²γ. ，根据三角函数的平方关系及两角和差公式化简得 cos2β+cos2γ， ）

再利用和差化积公式及 α+β+γ=2π 化简可得 即 sin²A+sin²B+ （204号

证法4（琴生不等式）令 ，易得f（x） 在 ^（0，π） 上是凸函数.故由琴生不等式有 f（A） +f（B） +f（C）≤3f（A+B+）.因为A +B+C =π

证法5 （三角形面积公式）由三角形面积公式得 则 sin²A+sin²B /（ 再利用海伦公式（202 其中 α+b+），三角形三边关系及均值不等式可证明

证法6（利用三角形外接圆半径性质）设ΔABC 的外接圆半径为 R ，由正弦定理可得 2R则 sin2A + sin²B + sin²C 根据三角形的外接圆性质，三角形三边关系及均值不等式 a²+b²+c²⩽9R² ，可得 1

2 结论加强

基于上述证明过程，对原不等式进行加强，得

到如下结论：

结论 在 ΔABC 中，有 sin²A+sin²B+sin²C⩽

证明 由证法1可知 sin²A+sin²B+sin²C=

原不等式右边 .因为 -3⩽ cos2A+cos2B+cos2C⩽3 ，所以 cos2B+cos2C）⩾0 ，即 .不等式得证.

3推广探究

推广（推广到 n 个角的情形）若 n 个角 A₁ A₂，…，A_n ，满足 A₁+A₂+…+A_n=π ，则 （2

证明 当 n=3 时，不等式已证.

当 ngt;3 时，利用数学归纳法，假设当 时不等式成立，即对于 A₁+A₂+…+A_k=π ，有

当 n=k+1 时，令 B=A₁+A₂+…+A_k ，则 B 思路， ，所以 ，推广成立.

4变式探究

变式1（改变三角函数名称）在 ΔABC 中， （204号

证明 因为 ，且 sin²A+sin²B+sin²C 则 4，移项 可得 又因为 cos²A+α ，将 代人可得 cos²A+ （20

变式2（增加根式）在 ΔABC 中，有

证明 由柯西不等式 ⩽（1+1+1）（a₁+a₂+a₃）. 令 a₁=sin²A+sin²B a₂=sin²B+sin²C，a₃=sin²C+sin²A 则（20 + ）

因为 所以

则 +

变式3 （分式结构的变式）在 ΔABC 中，有

证明 因为 且 sin²C ，所以 （204号

变式4（三角函数……