马大文

［摘 要］对于含参数不等式恒成立问题和函数零点讨论问题，普通高中的学生常常束手无策。文章结合例题归纳解决含参数不等式恒成立问题和函数零点讨论问题的两种方法——定点旋转直线法和平移直线法，旨在为普通高中学生提供方法依据，帮助他们破解难点。

［关键词］含参数不等式恒成立问题；函数零点讨论问题；定点旋转直线法；平移直线法

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）14-0027-03

历年广西普通高中学业水平考试数学试卷的压轴题，都是利用导数求切线方程、求函数单调区间，以及讨论含参数不等式恒成立、函数零点个数等问题。其中，含参数不等式恒成立问题和函数零点个数讨论问题在大多数情况下可以用两种直线法解决，一是定点旋转直线法，二是平移直线法。这两种直线法不仅对学业水平考试的备考有很好的作用，还对高考备考有一定的启发和帮助。

一、方法引入

现以2021年广西普通高中学业水平考试数学试题第38题为例归纳定点旋转直线法和平移直线法。

［例1］已知函数[f（x）=alnx+bx]，曲线[y=f（x）]在点[（1，f（1））]处的切线方程为[3x-y-1=0]。

（1）求[f（x）]的解析式；

（2）设[g（x）=x2+mx-f（x）]，试讨论函数[g（x）]的零点的个数。

解：（1）∵[f '（x）=ax+b]，∴[f '（1）=a+b]，∵[f（1）=aln1+b=b]，[∴]切点坐标为（1，[b]），

由点斜式得切线方程：[y-b=f '（1）（x-1）]，即[（a+b）x-y-a=0]，∵已知切线方程也表示为[3x-y-1=0]，[∴a+b=3，-a=-1，]即[a=1，b=2，][∴f（x）=lnx+2x]。

（2）∵[g（x）=x2+mx-f（x）]，∴[g（x）=x2+mx-lnx-2x]，若函数[g（x）]有零点，则[g（x）=0]，即[x2+mx-lnx-2x=0（x>0）]。

方法一：变式为[（m-2）x=lnx-x2]，令[y=（m-2）x]和[G（x）=lnx-x2]，则[G'（x）=1x-2x=-2x+22x-22x]。

当[x∈0，22]时，[G'（x）>0]，[G（x）]为增函数；当[x∈22，+∞]时，[G'（x）<0]，[G（x）]为减函数。故[G（x）]在[x=22]处有最大值，即[G（x）max=G22=-ln2+12]。当[x→0]时，[G（x）=lnx-x2→-∞]；当[x→+∞]时，由洛必达法则知，[limx→+∞lnxx2=limx→+∞（lnx）′（x2）′=limx→+∞1x2x=limx→+∞12x2=0]，即[x2]变大的速度比[lnx]变大的速度快，所以[G（x）=lnx-x2→-∞]。

（此处也可以对[y=lnx]和[y=x2]的图象进行比对，判断[G（x）]的变化趋势）

则[G（x）]的大致图象如图1所示，设过点（0，0）的直线[y=（m-2）x]与曲线[G（x）=lnx-x2]相切的切点为[（x0，lnx0-x20）]，则切线斜率满足[G'（x0）=（lnx0-x20）-0x0-0=1x0-2x0]，即[x20+lnx0-1=0]，解得[x0=1]，故切线斜率[k0=1x0-2x0=-1]。当[……