许璐

【摘  要】  平面几何一直是初中数学教学的重难点.学生在遇到平面几何问题时，由于缺乏系统性的分析方法和解题技巧，常常难以入手.总的来说，解决平面几何问题需要学生掌握并熟练运用所学的几何知识，并且拥有一定的图形想象能力.本文根据一道初中平面几何的例题来谈谈此类题目的解法.

【关键词】  平面几何；初中数学；辅助圆

平面几何问题一直是初中数学中的重要问题之一，且难度分布广泛，无论是简单题目还是复杂题目都可以有平面几何问题，题型复杂多样，知识点广泛.此外，平面几何问题还需要掌握一定的作图技巧和辅助线画法.下面根据一道初中平面几何问题谈谈此类问题的几种解法.

例题  如图1，在四边形中，，，，，求的长.

解法1  构造辅助线

根据题目所给的几何条件合理构造辅助线是解决平面几何问题的常用方法.一般来说，构造辅助线主要有三大方向：一是为了得到长度相等的线段，二是为了得到全等的三角形，三是为了得到角度相同的角.

解析  如图1，过点作于点，在的延长线上截取，并连接，在的延长线上截取，并连接，，

由此易证相似于，

得到，

设，则，

，所以得到，

解得符合题意，即.

构造辅助线的首要目的在于简化解题，使题目中的条件能够有机转化，如果在构造完辅助线后问题反而变得复杂，就需要重新考虑.此外，当没有构造思路时，要围绕着条件多的角，边等进行构造.

解法2  构造直角三角形

直角三角形作为一类重要的三角形，其蕴含的条件是丰富的，同时利用勾股定理还可以由直角得到有关于三角形边的长度的等式.

解析  如圖2所示，过点作的垂线交于点，再分别过两点作的垂线，垂足分别是，

易得矩形，且全等于，设为，则，

又，所以得到，

再由相似于，

得到，即，

解得符合题意，即.

构造直角三角形时不能构造的凭空无据，而是要寻找一些可能存在直角的几何位置.例如，在三角形的某个定点向对边作垂线，或是补齐图形变为矩形等等，对于有全等三角形的题目还可以考虑用三垂直模型解题.

解法3  构造辅助圆

平面几何中最常见的图形就是三角形，几乎所有的图形都可以由一个个三角形拼接而成.而与三角形密切相关的一个图形则是圆，无论是外接圆还是内接圆都能够提供许多有关三角形的性质.所以构造辅助圆同样是简化平面几何问题的一类重要方法.

解析  如图3，点是的外接圆，则 ，

易得是以为斜边的等腰直角三角形，

所以，

过点作的垂线，垂足为，交于点，

则，

设，由于，得到，

在，，

即得到，

解得符合题意，即.

在构造出辅助圆后最常用的性质就是利用圆中弦所对的圆周角相等的性质，可以使角的位置发生变化，而大小不变，这就使题目条件的使用变得更加灵活.

解法4  构造并利用相似三角形

三角形中除了全等三角形，相似三角形的性质同样重要，虽然不是完全相等，但是角的关系和边长的比例关系对于解题同样重要.

解析  如图4所示，作垂直于于点，在的延长线上截取，

则，易得相似于，

所以.

又由勾股定理可以得到，

设，则，

，

所以，

即，

解得符合题意，即.

相似三角形的构造和利用是极其灵活的，一般是围绕角来构造，延长或者截取线段是常用的方法.

结语

对于这道平面几何问题，上述四种解法殊途同归，都是对于题目条件的发散，合理构造，巧妙转化.在解决此类问题时，一定要牢牢抓住已知条件，才能在构造时有方向.

参考文献：

[1]董海荣.深入挖掘结论，逐层拓展应用——以中考几何探究题为例[J].中学数学.2018（04）：72-74.

[2]严亚琴.摭谈一道平面几何题的解法探究与启示[J].中学数学.2017（12）.85-86.

[3]丁淑琳，王罗那，黄韬.基于“一题多解”的初中数学核心素养培养[J].湖州师范学院学报.2021（08）：112-116.

[4]孙淑梅.从一道考题的多解看初中数学几何解题能力的培养[J].现代中学生（初中版）.2021（18）：27-28.

[5]王茁力.初中数学“一题多解”的教学价值[J].中学数学教学参考.2018（0z3）.99-100.

[6]蒋浩文.借一题多解，助数学思维发展——以一道初中几何题为例[J].数学教学通讯.2022（20）：85-88.