朱小成

⦿ 甘肃省平凉市第七中学

由于等腰三角形的边、角都有不同的类型,因此一些题目中的条件在设计之初就存在不确定性[1].但是,由于学生的思维定势比较严重,他们在分析问题时往往表现得比较片面,进而会出现漏解的错误[2].想要解决等腰三角形中的不确定性因素问题,需要学生突破思维定势,从多个角度分析问题存在几种可能性,然后逐一击破,这就是分类讨论思想.基于此,本文中将结合例题探究分类讨论思想在等腰三角形中的应用,尤其是在解决不确定性因素时的用法.

1 例析常见的不确定性问题

等腰三角形中的不确定因素主要表现在边和角两个方面,但根据实际教学经验来看,不能排除三角形形状不确定的可能.因为等腰三角形的顶角有直角、锐角和钝角之分,而顶角的不同也会导致其形状有所不同.下面将从三个方面例析等腰三角形中常见的不确定性问题.

1.1 角的不确定

例1已知△ABC是等腰三角形,∠A=80°,求它的顶角度数.

分析：虽然已知三角形的形状是等腰三角形,且∠A=80°,但由于等腰三角形中的角有顶角与底角之分,而题中并未告知∠A为何种角,所以应分情况讨论.

解：根据题意,应分两种情况.

(1)当∠A为顶角时,△ABC的顶角度数就是80°.

(2)当∠A为底角时,△ABC的顶角度数就是180°-80°×2=20°.

综上所述,△ABC的顶角度数为80°或20°.

反思：等腰三角形中的角有顶角和底角之分,在审题时切勿因思维定势贸然认为题中所给的角是顶角或底角,如此必然会导致漏解.

1.2 边的不确定

例2若一根长为28 m的钢丝可以围成一个边长为6 m的等腰三角形支架(忽略交接处钢丝的长度),那么该等腰三角形支架的腰长为______m.

分析：尽管已知支架的形状为等腰三角形,但并未明确长为6 m的边是其腰还是底边,所以本题也应分两种情况讨论.

解：根据题意,应分两种情况.

(1)当6 m长的边是等腰三角形的腰时,该等腰三角形支架的腰长为6 m.

(2)当6 m长的边是等腰三角形的底边时,该等腰三角形支架的腰长就是(28-6)÷2=11(m).

综上,等腰三角形支架的腰长是6 m或11 m.

反思：等腰三角形的边不只有腰这一种,还有底边.所以在分析问题时,应区分清楚等腰三角形边的情况,然后结合分类讨论思想解决问题.当然,如果求得的腰或底边不足以构成三角形,则另需说明并排除.

如下面的变式:

已知一等腰三角形的周长是18,它的一边长为4,那么该等腰三角形的其他两边长分别是______.

题中长为4的边同样不确定,应分类讨论:

当长为4的边是腰时,那么另一腰是4,底边长是18-4-4=10.然而,此时的4,4,10三边并不能构成三角形,所以排除.

当长为4的边是底边,那么腰是(18-4)÷2=7,且三边为7,7,4,此时可构成三角形.

综上,该等腰三角形的其他两边长分别是7,7.

1.3 形状的不确定

例3已知△ABC为等腰三角形,一腰上的高和另一腰的夹角为60°,则该等腰三角形的顶角为______.

分析：本题无图,所以应先根据条件画图.但由于一腰上的高和另一腰的夹角存在两种情况,因此应该分类讨论.

解：如图1所示,当该等腰三角形为锐角三角形时,∠ABD=60°,则∠A=30°.

图1

如图2所示,当该等腰三角形为钝角三角形时,∠ACD=60°,则∠BAC=120°.

图2

综上,本题的正确答案为30°或120°.

反思：学生普遍认为这样的三角形为锐角三角形,所以他们只是一味地在锐角等腰三角形中分析该问题,而忽略了该等腰三角形有可能为钝角三角形的情况,这就是典型的思维定势.

2 解决策略总结

通过上面三道例题可以发现,解决等腰三角形中不确定性问题的方法就是分类讨论.接下来,笔者将具体的解决策略总结如下.

(1)解决角的不确定性问题

角的不确定性在等腰三角形中出现的几率较大,解决这类问题通常按照下面的思路解决:

首先,应知晓题中所给条件中的“角”是否已经明确了其是顶角还是底角.如果已经确定,则按照题意直接分析即可;如果尚未确定,则需分“角是顶角”和“角是底角”两种情况进行讨论.最后,将分类讨论的结果进行综合,得到最终的解题结果.

解决这类问题时,需注意两个方面:

①在分类讨论过程中,应根据审题结果画出相应的图形;

②解题的最后一定要将分类讨论计算的结果综合起来得到最终的解题结果,即“综上……”这个步骤不能忽略[3].

(2)解决边的不确定性问题

边的不确定性和角的不确定性一样,在等腰三角形中出现的几率也比较大.如果题目告知三角形为等腰三角形,但并未明确边的类型,即并未告知边是腰还是底边,那么应按照下面的思路解决这类问题:

首先,应在认真审题的基础上知晓题中是否明确了边为腰还是底边.如果已经确定,那么只要直接根据题意进行分析和计算即可;如果尚未确定,则需分“边是腰”和“边是底边”两种情况进行讨论.同时,在分析之前一定要根据具体的情况和要求画出相应的图形,切勿在脑中天马行空.最后,将分类讨论的结果进行综合,得到最终的解题结果.

在解决这类问题时,同样需注意两个方面:

①根据审题结果画出相应的图形,是利用分类讨论思想解决该类问题的第一步.只有根据条件画出相应的图形,才能更准确地分析问题.切勿在未画图的情况下分析问题,这样极易出错,因为初中生的抽象思维还较弱.

②既然是利用分类讨论思想解决该类问题,那么最后同样需要将分类讨论计算的结果综合起来.

(3)解决形状不确定性的问题

形状的不确定性虽然在等腰三角形中不多见,但是,只要一出现往往比较难以解决,且学生发现题目需要分类讨论的可能性极小.因此,形状不确定的问题需要教师和学生足够重视,教师要多呈现这类例题,以通过分析不断拓宽学生的视野,提升学生的解题能力.

解决等腰三角形形状的不确定问题,应该按照如下步骤进行:

首先,在画出符合题意的图形后,潜意识中一定要问“是这样的吗?”“是只有这一种情况吗?”等问题,以此寻找突破思维定势的“点”.一旦养成这样的习惯,那么这类问题漏解的可能性就会逐渐减小.

其次,画图、综合等过程和前两种不确定性问题的解决方法一样.

3 结语

总之,等腰三角形中的不确定因素较多,要想不漏解、不做错,就需要时刻小心.当然,这主要还是源于优质的数学素养.为此,在学生学习的过程中,教师有必要不断引导或指导学生利用分类讨论思想分析问题、解决问题并进行反思.