郭宝先 杨丽燕

⦿ 广东省江门市新会尚雅学校

古语曰:“不谋万世者,不足谋一时;不谋全局者,不足谋一域.”“谋全局”就是站在全局的角度整体思考;“谋万世”就是用发展的眼光来考虑.数学教学也是如此[1].下面笔者以人教版教材七年级上册第四章“几何图形初步”复习教学为例,谈谈如何立足整体,注重联系,发展核心素养.

1 复习目标及教学设计思路

1.1 确定目标,培养系统思维

(1)从实物中抽象出几何图形,了解二者的关系,认识点、线、面、体的有限与无限;

(2)在平面图形和立体图形相互转化的过程中,发展空间观念和几何直观;

(3)理解直线、射线、线段、角、余角和补角的概念,了解有关性质,并能初步应用,提高观察能力、运算能力,培养推理能力.

1.2 教学设计思路

本节复习课采用先整体感知、再分步学习、最后整体构建的教学过程,知识点逻辑连贯,从知识点复习,到思想方法总结,再到核心素养的培养,让学生在这个过程中形成完整和系统的认知,培养整体观和全局观的系统思维.

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2 教学片段赏析

2.1 整体感知,从局部到全局

整体感知,是框架性的认识.从结构的角度形成整个单元的认知地图,有助于学生站在系统高度认识本章知识之间的联系,了解各知识的来路、去路,激发“纵观全局,尽在把握”的自信,本章知识结构图如图1.

图1

2.2 激发兴趣,从生活现象到数学抽象

播放视频《3D打印:未来可期》,从3D打印出的食物、生活用品、建筑等实物中抽象出几何图形,科学情境吸引学生注意力,唤起求知欲,点燃学生思维火花,也为活动1、情境1和情境2做了铺垫.

2.3 温故知新,辩证思维

章建跃博士指出,培养思维是发展核心素养的关键.单元复习课要以本单元知识间的联系为基础,对本单元有进一步的认识和感知,运用辩证思维,以动态发展的眼光来看本单元.

环节1：辨析图形,高阶思维.

活动1：长方体与正方体是生活中常见的立体图形,它们有什么关系?

设计意图：由辨析长方体、立方体,复习展开图、三视图及点线面体,发展抽象能力.然后观看正方体、长方体三视图、展开图等四个在线画板演示,培养学生空间观念、几何直观、高阶思维.

环节2：线段的中点,从生活观察到数学思考.

情境1如图2,一只萨摩斯蚂蚁在正方体的顶点A发现顶点C处有一条小虫子,它沿表面爬行,怎样爬行路线最短?

图2

(1)如何解决这类问题?

(2)如图3,点E的位置具有什么特征?还有类似的点吗?说说你的理由.

图3

设计意图：继续观察立方体,思考蚂蚁爬行路线最短问题.另外,通过将立体图形转化为平面图形解决问题,从而引入线段的中点.通过E为线段AC的中点的探究,把学生的思考引向深入.

活动2：线段的中点.

直线l上有A,B两点,C是直线l上一动点,M是线段AB的中点,N是线段BC的中点.

(1)这里有射线、线段吗?为什么?

(2)如果有线段,共有几条?

(3)你能用一句话概括直线、射线、线段之间的关系吗?

(4)①若AB=5,BC=3,探究线段MN与AC的数量关系,并说明理由;

②若AB=a,BC=b,探究线段MN与AC的数量关系,并说明理由;

③你发现了什么规律?

设计意图：将直线、射线、线段及三者之间的关系,还有线段条数、双中点模型、分类讨论、数形结合等串联起来,一题多联.问题(4)中,②是①的变式,体现从特殊到一般,分类讨论的不同达到深化思维的目的;二者规律的不变,体现数学的本质,即以变式为载体,从变化中抓不变.学生观看线段双中点模型的网络画板演示,直观感受动线段MN随点C的运动而不断变化,但是线段MN与AC的数量关系始终不变,由此感悟有限与无限的哲学思想.

环节3：角平分线,从生活描述到数学表达.

情境2如图4,这只萨摩斯蚂蚁在正方体的顶点A又发现顶点B有一条小虫子,它沿表面怎样爬行路线最短?

图4

如图5,线段AB具有什么特征?说说你的理由.

图5

设计意图：学生继续观察蚂蚁的爬行路线,思考线段AB的特征,这是一个开放性问题,让学生体验用不同的数学语言表达角平分线的方式.另外,通过正方形对角线的探究引入角的平分线.

活动3：角的平分线.

如图6,O是直线AB上的一点,OD是∠AOC的平分线,OE是∠BOC的平分线.

图6

(1)若∠AOD=14°,求∠DOE,∠BOE的度数.

(2)若∠AOD=α,求∠DOE,∠BOE的度数.

(3)∠AOD与∠BOE是什么关系?还有几对这种关系的角?

(4)∠COD与∠BOD是什么关系?还有几对这种关系的角?

(5)判断OD与OE的位置关系,并说明理由.

(6)由(5)的结论,你发现了什么规律?

(7)如图7,若OF是∠DOE外一条射线,且OC平分∠EOF,OG平分∠DOF.

图7

①图7中的射线构成了多少个小于平角的角?

②若∠DOF=40°,求∠COG的度数.

③若∠DOF=β(0°<β<90°),则∠COG的度数是否变化?若不变,请说明理由;若变化,表示其角度.

(8)由(7)的结论,你发现了什么规律?

(9)双角平分线、双中点模型有何联系?

设计意图：一题多用,将角的关系、角的个数,边、角的变化规律,双角平分线模型,以及分类讨论、数形结合、化动为静等进行系统复习.问题(7)中,③是②的变式,但规律相同,体现了对动态问题动中抓静的本质.然后观看双角平分线模型的网络画板演示,感受角的变化,但是∠DOE与∠AOB,∠COG与∠DOF的数量关系始终不变,从而感悟有限与无限的思想.学生通过双中点模型与双角平分线模型的辨析,厘清了二者的异同.

2.4 整体构建,知来路明去路

心理学家潘菽指出,知识系统化就是理解各部分知识间的关系,有利于用完整的知识去理解新知识,触类旁通就是知识系统化在理解中的表现[2].图8是课堂教学中动态生成的板书.线段的中点、角的平分线是“学会结构”阶段,三角形、四边形等后续学习是“运用结构”阶段.明白了研究的套路,学习就犹如有了导航仪.

图8 整体建构图

2.5 分层测评,知数据明改进

必做题:教材第148页复习巩固第6题.

选做题:教材第149页综合运用第12题.

设计意图：必做题是线段和与差的实际应用,针对预习检测的薄弱点3与本节课重点线段的运算;选做题是折叠、角平分线、平角、直角、逻辑推理等的综合运用,针对预习检测的薄弱点5与本节课重点角的运算.尊重学生差异的同时,也要根据学情反馈来以学评教,改进教学.

3 教学思考

通过合适的主题整合教学内容,帮助学生学会用整体的、联系的、发展的眼光来看待问题,形成科学的思维习惯,发展核心素养[3].第四章“几何图形初步”复习课中的三个情境、三个活动以及线段的中点、角的平分线的三种语言、三个作用等体现数学核心素养的“三会”.

3.1 用数学眼光观察——情境联系,引出研究对象

引入的视频《3D打印:未来可期》,让学生感受到世界因图形而多姿多彩.在科学情境的基础上,将正方体作为情境1和情境2.三个情境让学生的抽象能力、空间观念及几何直观得到培养,逐步养成从数学角度观察现实世界的意识与习惯,发展好奇心、想象力和创新意识[3].

3.2 用数学思维思考——纵横联系,探究研究对象

(1)知识联系.预习检测暴露学生解决应用性、综合性问题的弱点,三个活动设计、堂测的设计为之补漏;活动1辨析正方体与长方体,借助网络画板,将三视图、展开图、点线面体紧密联系起来;活动2的问题串,将直线、射线、线段的概念及其关系,线段条数、运算(双中点模型)、规律探索等融为一体;活动3的问题链,让角的个数、运算、关系(互余、互补)、双角平分线模型等浑然一体.

(2)方法联系.情境1中蚂蚁爬行路径最短的问题,将立体图形与平面图形紧密联系;类比线段的研究经验(线段条数、和差、中点、长度,对称性,数形结合、分类讨论),建构研究角的整体框架;类比双中点模型学习双角平分线模型.研究对象在变,但思想方法不变,研究套路不变.

(3)逻辑联系.从整体的视角,以蚂蚁爬行为纵轴,串联了整体感知、分步学习、整体建构;以几何图形的研究方法大概念为横轴,联结了研究思路、内容、方法.研究思路是从生活中抽象出图形,从概念、特例、性质等方面探究,再解决问题,体现源于生活,用于生活,最后从特殊到一般,再去研究组合图形,环环相扣,系统化.研究内容从整体到部分,以概念的抽象与概括为起点,以符号语言、图形语言为纽带,探索其性质,前后联系,左右贯通,结构化.由线到角是从简单到复杂,步步推进,逻辑严谨,体系化.

在经历线段的中点、角的平分线规律“再发现”的过程中,学生运算能力、推理能力得到培养,并学会用数学的方法探究其他问题,初步养成讲道理、有条理的思维品质,逐步形成理性精神[3].

3.3 用数学语言表达——知行合一,交流与应用

几何图形语言就是用“数”(大小)与“形”(形状、位置关系)表示研究对象的元素及相关元素的关系,并用符号语言表达,再运用数学运算和推理解决问题.它是三种数学语言的一体化.

教学中,学生会用数学语言描述三个情境,会用说理、运算、推理解决三个活动中的问题,会在小组合作、展示中用三种数学语言表达与交流.

教学中,学生用三种数学语言描述了线段中点与角平分线的数量、位置关系.学习中,学生积累了证明边或者角相等、倍分等经验.从解决综合性、应用性问题中,解决双中点、双角平分线模型等高通路迁移问题.学生在运用数学运算、数学推理解决问题的过程中建立模型观念.