熊 利

⦿ 湖北省武汉市杨园学校

1 深度学习

深度学习是课程改革以来对课程理解和课堂实践的深化,它既是一种理念也是一种实践指导策略.深度学习是指在教师引领下,学生围绕着具有挑战性的学习主题,全身心积极参与,体验成功,获得发展的有意义的学习过程.数学学习过程是学生围绕学习内容展开的活动过程,初中数学深度学习的特点是学生能够全身心投入具有挑战性的富有思维含量的学习活动.

笔者在一节习题课中设计了三个具有挑战性的学习活动:一是发现习题的多个不同的证明方法;二是通过不同证明方法的对比,发现并确认题中多余的条件;三是将多余条件结论化,进而探求习题的结构.三个学习活动衔接自然,过程流畅,思维含量一个比一个高,逐步将课堂学习活动推向高潮.整节课学生自主、自发地参与到课堂学习活动中来,不断体验到发现和证明出结论带来的快乐,这也正是深度学习理念指导下的课堂实践的最好展现.

2 教学纪实

2.1 展示习题,指明目标

教师:很多时候我们只顾埋头做题,一题做完紧接下一题,很少停下脚步去深入研究一道题,今天老师带领大家对课本上一道习题进行深入探究,希望大家从中能有所收获.(展示习题)本节课我们只研究这一道题,请大家开动脑筋积极思考.

题目(人民教育出版社八年级数学上册第25页习题第10题)如图1,六边形ABCDEF的内角都相等,∠DAB=60°,AB与DE有怎样的位置关系?BC与EF有这种位置关系吗?这些结论是怎样得出的?

图1

教师:做完的同学写一下过程,然后再看看整道题,你有没有什么发现?没做出来的同学,尽可能地算出图中所有的角,并给出证明.

过程回顾:首先指明这节课的目标是对一道题进行深入研究.让学生用不同的方法解答,激发学生的探究欲,同时,希望学生通过各种不同方法的对比,发现“∠DAB=60°”是多余条件,让接下来的学习过程衔接更自然.

2.2 一题多解,拓宽思路

教师:老师已经看到了不同的证明方法,大家开动脑筋,用尽可能多的方法来证明你的结论.

教师:会做这道题的同学请举手.好,有超过一半的同学举手了.请一位同学说一下你的证明过程.

学生1:AB∥DE,且BC∥EF.

证明：由∠DAB=60°,得∠FAD=∠DAB=60°.由∠E+∠F+∠FAD+∠EDA=360°,且∠E=∠F=120°,可知∠EDA=60°,所以∠EDA=∠DAB,故AB∥DE.又∠F+∠FAD=∠B+∠DAB=180°,所以EF∥AD,BC∥AD,于是BC∥EF.

教师:对于DE∥AB,同学们还有其他证明方法吗?

学生2:如图2,过点F作FH∥ED.由∠1+∠E=180°,得∠1=60°,则∠2=120°-∠1=60°,所以∠2+∠FAB=180°,所以FH∥AB.故DE∥AB.

学生3:如图3,延长EF,和BA的延长线交于点H.

图3

由∠1=180°-∠EFA=60°,∠2=180°-∠FAB=60°,又∠H+∠1+∠2=180°,得∠H=60°,所以∠E+∠H=180°,故DE∥AB.

学生4:如图4,连接AE.由∠1+∠2+∠F+∠3+∠4=360°,∠1+∠F+∠3=180°,可知∠2+∠4=180°,所以DE∥AB.

图4

教师:对于DE∥AB,同学们给出了四种不同的证明方法,大家再观察一下,看你有没有什么发现?

学生5:除了第一种方法,其余三种都作了辅助线.

学生6:后三种方法都没有用到“∠DAB=60°”这个条件.

教师:这两个同学的证明方法都很好!请问条件“∠DAB=60°”能否去掉?

过程回顾:让学生尽情展示,在一个个证明方法中逐渐打开思路,过程自然流畅,学生都沉浸在思维的海洋里.

2.3 导向深入,抓住关键

学生7:从做题过程来看,条件“∠DAB=60°”可以去掉.DA这条线段也可以去掉.

教师:那为什么题目要多给条件呢?

(学生7沉默不语,课堂陷入沉默.)

教师:此题是“11.3多边形及其内角和”的一道习题,主要考查灵活运用多边形内角和公式解决问题的能力.题目多给条件,一是为了让大家往计算角这个方向思考,二是给大家留出探索发现的空间,这也是此题放在“拓广探索”栏目中的原因.

教师:经过大家的思考探索,可以把题目简化为“凸六边形ABCDEF的内角都相等,求证:DE∥AB”.

学生8:老师,我又发现了新的证明方法.不用“∠DAB=60°”这个条件,连DA就可以证明.

教师:好的,你先不说过程,让大家思考一下,这样可不可以证明?

学生8:如图5,因为∠2+∠3+∠E+∠F=360°,所以∠2+∠3=120°.

图5

又∠1+∠2=120°,所以∠1=∠3.故DE∥AB.

教师:非常好,过程清楚,思路明确.要证明平行,但没有截线,连DA后就有了截线,产生内错角,证内错角相等.大家回顾一下,以上几种证明方法有没有共同点?解答这题的关键是什么?

学生9:课本原题除学生1的证法外,其余证明方法都作了辅助线,作辅助线后才产生了截线,所以这道题的关键是要有截线.

教师:学生9总结得很好.大家能否归纳一下作截线的方法?

学生10:作截线有三种方式,即连接、延长和作平行线.

过程回顾:通过教师的引导、学生的积极参与,证明思路越来越清晰,最后点出了证明平行的关键是找截线,并归纳了作截线的三种方法.

2.4 抛出问题,探索结构

教师:既然条件“∠DAB=60°”是多余的,老师有一个想法,能否把它放到结论中,也就是由每个内角都相等能否得到∠DAB=60°.题目改编如下:

如图6,六边形ABCDEF的内角都相等,∠DAB是否等于60°?给出你的判断并说明理由.

图6

教师:要解决上面这个问题,我们先解决另外一个问题,题中的六边形是否是正六边形?

(课堂陷入沉默,一分钟后有学生举手.)

学生11:不一定是正六边形,可以将BC边向上平移,如图7,如果原图是正六边形,则平移后的图形就不是.

图7

教师:学生11举出的反例很好地解释了原图不一定是正六边形,通过平移边,在不改变角度大小的情况下,改变了边长.下面回到∠DAB是否等于60°这个问题上来,大家还同意∠DAB=60°吗?

学生12:不一定是60°,将BA向上平移,∠DAB的度数会变小.

教师:你是如何判断∠DAB变小的?

学生12沉默,学生13举手.

学生13:如图8,由AB∥GH,得∠DAB=∠2.又∠2>∠1,所以∠DAB>∠1.故向上平移∠DAB会变小.

图8

教师:非常好!通过两位同学的分析,我们可以看到∠DAB的度数不是一个确定的值,那“六个内角都相等”这个条件能确定什么?不能确定什么?

学生14:可以确定DE∥AB,不能确定∠DAB.

学生15:还可以确定EF∥BC,还有CD∥AF.

教师:也就是可以确定六边形正对着的三组边平行,但不能确定六边形的边长,如果大家能够看到这一层,那这个图形在你眼里就是可以变化的,很多问题就可迎刃而解.

过程回顾:通过将多余的条件结论化,来探索试题的结构,将此题的研究进一步推向深入.抛出问题“六个角相等的六边形是否为正六边形”,为问题的解决指明了方向.

3 教学感悟

课本的一道普通习题,如果不去深入研究,可能十分钟就讲完了,但沉下心来研究一番,结果发现它是一座思维的宝库.笔者并不想直接将这里的宝藏呈现给学生,而是一步步引领学生看到发现宝藏的过程,在这个过程中,让学生逐步体会到解完题后,我们还能怎样去思考,教会学生思考问题的方法,一同经历一堂思维的盛宴.

教师能设计出具有挑战性、富有思维含量的学习活动是学生在课堂上开展深度学习的必要条件.这就需要教师多研究试题,而研究试题中最有意义的事情是研究教材习题.只有教师的深度学习和研究才有可能促成学生深度学习的产生.Z