徐建兵 王 丹

⦿ 浙江省衢州市衢江区第一初级中学 ⦿ 浙江省衢州市衢江区东港初中

《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《课标2022》)指出数学教材为学生的数学学习活动提供了学习主题、知识结构和基本线索,是实现数学课程目标、实施数学教学的重要资源.《课标2022》在初中阶段函数内容的要求中明确指出:要让学生会求二次函数的最大值或最小值,并能确定相应自变量的值, 能解决相应的实际问题.给出如下例题:

例题如图1,计划利用长为am的绳子围一个矩形围栏,其中一边是墙.试确定其余三条边,使得围出的围栏面积最大.

图1

结合课标要求与实例分析,笔者对浙教版九年级上册“1.4二次函数的应用”进行研究.“二次函数的应用”共有5个例题,分3个课时来完成教学任务.5个例题中有4个是围绕二次函数的最值进行设问的,这充分体现了二次函数的最值在其应用中的重要地位.第一课时中例题的素材是一个半圆和矩形组成的窗户,根据材料总长求最大透光面积.作为二次函数的第一课时这一素材存在一定的局限性,关系式过于复杂,计算数据过难,会影响本节课利用二次函数求最值的教学目标,而且第一课时的学习情况将会直接影响后面课时的学习效果.因此,笔者思考如何进行教学素材的重构,在素养立意下落实课标对“二次函数的应用”内容要求.《课标2022》提出:教材的编写要体现核心素养的培养要求;要有利于引发学生思考;素材选取要贴近学生的现实、真实可信;要注重教材创新[1].课标的编写建议是教师教学素材重构的重要依据.受其启发,笔者选择贴近学生现实的校园“一米菜园”为背景,设计篱笆围栏中矩形面积最大问题的研究,这很好地把问题与课标的例题相融合,让学生经历生活情景数学化、问题解决模型化的过程,掌握利用二次函数模型解决矩形面积最大问题的方法,形成基于背景、价值、关联和应用等层面的知识结构体系,落实课标要求,发展核心素养.

1 教学设计

1.1 在真实情境量化分析中感受数学抽象

(1)生活情境问题化

问题1校园实践基地“一米菜园”的设计:如图2,学校计划用20 m长的篱笆围成一个矩形菜园,请每位同学画一种方案,同桌之间比较,看看谁设计的矩形面积更大,到底谁的设计矩形面积才是最大的呢?

图2

设计意图：这是一个非常开放的生活问题,在校园实践基地“一米菜园”中,提出了利用菜园设置面积最大的数学问题.此环节的设计有利于学生在实际情境中发现和提出有意义的数学问题,培养学生的数学眼光和问题意识,同时借助生活背景,使学生感受到数学问题来源于生活,又回归于生活.

(2)量化分析数学化

问题2用20 m长的篱笆围成一个矩形菜园,在周长一定的情况下,同学们是否发现,菜园的一边随着另一边的变化而变化,此时矩形的面积是否也跟着变化?假设其中一边长为x,则矩形的面积S是关于x的函数吗?如果是,它属于哪一种函数?

设计意图：抽象能力主要是指通过对现实世界中数量关系与空间形式的抽象,得到数学的研究对象,形成数学概念、性质、法则和方法的能力[1].量化分析是生活情景数学化的重要路径,让学生感受变化过程中矩形边长和面积数量化的过程,养成通过量化分析获得数量关系的习惯,有利于学生数学抽象能力的提升.

1.2 在问题解决优化过程中提升模型观念

(1)问题解决模型化

问题3学校计划用20 m长的篱笆围成一个矩形菜园,要使所围成的矩形面积最大,矩形的两边长分别是多少呢?

(2)条件选择效益化

问题4学校用20 m长的篱笆围成一个矩形菜园,为了使围成的矩形菜园面积更大,又节约成本,有同学提出利用其中一面靠墙的方案,同时也提出了当墙长分别为15 m和4 m时,应该如何设计矩形的边长,才能使所围成的矩形的面积最大呢?

设计意图：校园实践基地“一米菜园”位于学校围墙边,利用围墙现有的条件分析实际背景中所包含的变量及其对应关系较为复杂,需要选择最优化的方案,在活学活用中理解二次函数在分析和解决实际问题中条件的重要作用,进一步感受建立数学模型的重要性,在落实“四基”和“四能”的同时发展学生的应用与创新意识.

图3

当墙长为4 m时,方案设计可分为两种情况,如图4.

图4

本环节通过观察函数图象、小组交流、分类讨论和模型再探,让学生感受方案优选效益化的同时,进一步理解二次函数自变量范围对求最值的影响.

1.3 在分类讨论、归纳探究中寻求模型本质

问题5学校用20 m长的篱笆围成一个矩形菜园,为了使围成的矩形菜园面积更大,又节约成本,有同学发现选择其中一面靠墙,墙长只有am,此时矩形两边满足什么条件时(可用含a的代数式表示),才能使所围成的矩形的面积最大呢?

问题6在矩形周长一定的条件下,两边满足什么数量关系时,矩形的面积最大,为什么?

教学中要注重引导学生立足已有信息,抓住关键线索进行分析联想,从特殊到一般,利用数形结合、分类讨论、数学建模等数学思想去开展“数”与“形”的观察、联想、类比、感悟和抽象等,直达问题本质.引导学生在构建模型、运用模型、验证模型、优化模型的同时,形成有条理的模型意识.将所学的知识应用到解决实际问题中去,通过选择方案和优化方案的过程,体会数学的价值,帮助学生获得生活经验,发展应用意识.

1.4 在框架结构梳理提炼中总结模型应用

问题7请根据图5的结构,说一说本节课在解决实际问题过程中的方法和策略.

图5

设计意图：结合框图,将解决问题的过程与方法进行梳理与提升,让学生回顾利用二次函数模型解决矩形面积最大问题的方法,重温生活情景问题化、量化分析数学化、问题解决模型化、方案优选效益化和方法提练抽象化等过程,在知识体系与系统建构中培养模型观念和应用意识.

2 教学反思

二次函数是初中阶段继一次函数、反比例函数之后,另一种描述现实世界中变量之间关系的重要函数模型.二次函数的应用贯穿了从实际问题到建构模型,再到利用模型解决实际问题的整个过程.教学中要基于数量关系,立足整体建构,让学生在比较、分析、探究中揭示问题的规律和本质,落实课标要求,发展核心素养.

2.1 创设问题情境,培养学生的数学抽象

数学抽象是数学逻辑与数学建模的前提,情境与问题是一个整体[2],教学的设计与实施中要重视情境与问题的关联,结合教学任务及其蕴含的数学核心素养,选择贴近学生现实、真实可信的素材,关联合适的情境与问题,引导学生用数学的眼光观察现象,发现并提出问题,引导学生用数学的语言描述背景、表达问题,培养学生的数学抽象能力.

2.2 建构模型体系,培养学生的应用意识

《课标2022》指出,模型观念是指对利用模型解决实际问题有清晰的认识,数学建模是数学与现实联系的基本途径.教学设计中要有关注数学建模的一般过程,通过方案的选择与对比,在优化方案的过程中,让学生感受“建模”“选模”“验模”和“用模”等整个过程,在纵向与横向的联系中建构知识体系.通过对关系模型的认识与探究,发展学生的应用意识[3].

2.3 关注数学本质,培养学生的核心素养

数学本质的认识取决于对数学的心灵感悟,这是接近数学、走近数学、研究数学和发现数学真理的不竭动力源泉[4].教学中要引导学生探索实际问题中数与形蕴涵的关系和规律,掌握一些有效地表示、处理和交流数量关系以及变化规律的模型工具,顺应抽象、推理、建模的基本思想,帮助学生从整体上把握知识结构,理解知识的内在联系.感悟数学本质,积累数学思维和实践经验,发展学生模型观念和推理能力[3].在数学建模过程中提升学生的创新意识、应用能力和人文素养.