朱 平 仲伟东

⦿ 江苏省南京市江宁高新区中学

1 教学目标分析

(1)利用预设的二次函数问题,建构二次函数图象与性质的相关知识体系;

(2)学生经历“一题多变,一题多解”教学过程,从“数”和“形”两个角度进一步理解二次函数;

(3)借助具体问题的提出与解决,帮助学生理解函数、方程、不等式之间的联系;

(4)学生经历解决问题的过程,进一步体会“数形结合”是研究函数的基本方法与路径.

2 教学环节设计

2.1 环节一:利用函数问题引导学生由“形”想“数”

问题如图1,二次函数y=a(x+1)2+4(a≠0)的图象与x轴交于点A(-3,0),你能得到哪些结论?

图1

教学功能分析：由一道不完整的题干出发,提出开放型问题,引发多方位思考.从学生回答的内容出发,引导学生回顾二次函数的图象和性质,使所学知识系统化、立体化.教师“以学定教,顺学而教”,引导学生由“形”想“数”,让不同层次的学生都有所收获,自主建构二次函数的知识体系.

教学示范:学生独立思考并书写.教师巡视,找寻学生从不同角度得出的结论,从学生所写内容出发,层层深入.如图2,引导学生得到以下几个方面的结论.

图2

(1)由图象开口向下可以得到a<0.

(2)将A(-3,0)代入二次函数y=a(x+1)2+4(a≠0),得到a=-1,进一步得到二次函数关系式为y=-(x+1)2+4,即y=-x2-2x+3.

(3)该函数的顶点坐标为(-1,4),对称轴为过点(-1,4)且平行于y轴的直线.

(4)由于二次函数图象具有对称性,对称轴为直线x=-1,且已知图象与x轴的一个交点A(-3,0),因此可得图象与x轴的另一个交点坐标为B(1,0).另一种方法为先求出函数关系式y=-x2-2x+3后再求得另一个交点.

(5)结合函数关系式y=-x2-2x+3,可知图象与y轴的交点的坐标为(0,3).

(6)图象的增减性:当x<-1时,y随x的增大而增大;当x>-1时,y随x的增大而减小.

(7)函数值分别大于0、等于0、小于0时对应的x的取值范围.当-30;当x=-3或x=1时,y=0;当x<-3,或x>1时,y<0.

根据以上结论,引导学生建构二次函数图象与性质的知识体系,如表1所示.

表1 二次函数的图象与性质

2.2 环节二:利用问题变式引导学生由“数”想“形”

变式用表格方式对环节一的问题进行变式.

例1已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中,函数y与自变量x的部分对应值如表2:

表2

(1)m=______;

(2)设计一种平移(上下平移或左右平移)方案,使原点在平移后的函数图象上.

解：(1)法1.利用待定系数法先求出该函数关系式y=-x2-2x+3,再把x=-4代入,求得m=-5.

法2:根据二次函数的对称性,纵坐标相等的两个点为对称点,可得m=-5.

(2)法1.由表3可知,函数图象与y轴的交点坐标为(0,3),该点与原点的横坐标相等,因此,只需将函数图象向下平移3个单位长度就可经过原点.还可以由表3知,函数图象与x轴的交点(-3,0)和(1,0)的纵坐标与原点的纵坐标相等,因此,只需将函数图象向右平移3个单位长度或向左平移1个单位长度就可经过原点.

表3

法2:画出函数y=-x2-2x+3图象,并找出平移的方法.

教学功能分析：第(1)问可以测评学生运用不同方法解题的差别.一种是先求函数关系式(三种方法,不同方法求出函数关系式的速度也会不同),再将x=-4代入求得m的值;另一种是利用二次函数图象的对称性及对称点纵坐标相等的性质直接得到结果.很显然,利用图象的对称性解决起来更加简单.问题(2)考查学生灵活运用平移知识解决问题的能力.而第(1)问的解决会给第(2)问的解决奠定基础,最终让学生理解图象平移的关键在于抓住图象所经过的点的坐标.

教学示范:处理第(1)问时,让学生先独立思考并书写,教师巡视,针对学生所使用的不同方法进行点评.处理第(2)问时,当学生发现函数图象向下平移3个单位长度后能经过原点时,教师应及时追问,你是怎么想的?还有其他想法吗?

弱化条件:将第(1)问中的函数图象向下平移n个单位长度后,得到的新的二次函数关系式为y=-x2-2x+3-n.

例2已知二次函数y=-x2-2x+3-n(其中n为常数,n>0).

(1)若该函数的图象与x轴只有一个交点,求n的值;

(2)已知该函数图象上的两点P(m,y1),M(3,y2),且y1

解：(1)法1.由函数的图象与x轴只有一个交点,可知该交点为二次函数图象的顶点,即顶点在x轴上,故b2-4ac=0.由(-2)2-4×(-1)×(3-n)=0,解得n=4.

解得n=4.

法3:由对称轴为直线x=-1,可得顶点坐标为(-1,0),代入y=-x2-2x+3-n,可得n=4.

法4:因为二次函数y=-x2-2x+3图象的顶点坐标为(-1,4),所以将函数图象向下平移4个单位长度后,图象与x轴只有一个公共点,因此n=4.

(2)函数y=-x2-2x+3-n的图象如图3所示,在图象上标出坐标为(3,y2)的点M,当y13.

图3

教学功能分析：第(1)(2)问的设计,是为了引导学生从数与形两个角度来思考并解决问题,将函数、方程、不等式三者之间的关系进行相互转化.在解决问题后,进一步引导学生进行反思和方法优化.

教学示范:对于第(1)问,教师可以通过提问“如何理解函数的图象与x轴只有一个交点?能从方程的角度考虑吗?尝试画一个草图”,引导学生运用数形结合思想进行思考,鼓励学生从多个角度运用多种方法解决问题.

对于第(2)问,可以从“数”的角度分析.由y10.这个不等式可以用如下两种方法解决:

方法2:从“形”的角度解决.画出函数y=x2+2x-15的图象,利用数形结合的方法加以解决.

教学过程中,教师要注意引导学生从数与形两个角度进行思考与分析.从数的角度,关键是与方程、不等式建立联系;从形的角度,关键是抓住重要的“点”(顶点、对称点、与坐标轴的交点),鼓励学生多角度思考问题,运用多种方法解决问题.

3 教学反思

我国著名数学家华罗庚说过:“数缺形时少直观,形缺数时难入微.”受此启发,笔者利用一个二次函数y=-x2-2x+3串起了整节课,通过图象、表格、表达式三种形式之间的转换,运用数形结合的思想方法来研究函数,实现由具体的数字到抽象的字母这样一种“从特殊到一般”的研究过程,层层递进,让学生的知识体系不断生长,知识网络不断完善,进而提高复习课的课堂效能.

进行教学设计时,选取的问题要具备生长性,尝试一题多变、一题多解,激发学生的数学思维,从而加深学生对数学知识全面且系统的理解.这里的问题生长是指对某一类教学资源的有机整合,要注重优化问题设计.备课时,要注重知识点之间的联系,所设计的问题要有主线,能由浅入深,层层深入,使学生所学知识系统化、结构化.Z