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借助函数图像讨论含参数方程解的情况

2017-06-20杨姝宇

数学学习与研究 2017年11期
关键词:交点个数抛物线

杨姝宇

我們在解有关含参数的方程时,经常遇到这样一类问题,某参数属于任意实数,讨论关于x的方程(其中含有此参数)的解的情况.解这类习题时,若单纯地通过解方程来考虑,有时就要遇到一些比较复杂的方程,如,无理方程等等.这样就会带来比较烦琐的计算.这里我想通过几道例题介绍一种方法,借助于函数的图像,根据函数的图像和性质,来讨论含参数方程解的情况.

例1 已知a∈R,讨论关于x的方程2x+1=x+a的解的情况.

解 令y1=2x+1,y2=x+a,分别作出图像.

y1=2x+1的图像是抛物线y2=2x+1(y≥0),它与x轴交于A-12,0,y2=x+a的图像是斜率为1的平行直线系如图示.

当直线y=x+a过点A-12,0,a=12,它与抛物线y2=2x+1(y≥0)有2个交点,随着a的减少,直线向下平移,两图像只有1个交点,即a<-12时,有1个交点.

随着a的增加,直线向上平移,直至它与抛物线相切只有1个交点B之前,两图像有2个交点.

直线与抛物线(一部分)只有1个交点的条件是二次方程(x+a)2=2x+1有2个相等的实数根,即Δ=(2a-2)2-4(a-1)=0,得a=1,

∴当12≤a≤1时,有2个交点,当 a=1时,有1个交点.

随着a的增加,直线再向上平衡,与抛物线无交点,则a>1,无交点.

这样,得出结论:a<12时,原方程有1个解;12≤a≤1时,原方程有2个解;a=1时,原方程有1个解;a<1时,原方程无解.

例2 已知a∈R,讨论方程log2x+1=2log2(x-a)的解的情况.

解 x满足条件x>0,x-a>0,

即x>0,x>a.

在此条件下,原方程可化为lg22x=log2(x-a)2.

即2x=(x-a)2.

令y1=2x,y2=(x-a)2.

① 直线y=2x和抛物线y=(x-a)2只有1个交点(即相切)条件是二次方程(x-a)2=2x有2个相等的实根.即Δ=(2a+2)2-4a2=0,8a+4=0,a=-12.

∴a=-12时,有1个交点,满足x>0,x>-12, 即x>0.

② 抛物线向左移,当a<-12时,直线和抛物线无交点.

③ 抛物线向右移,(ⅰ)-120.

(ⅱ)a=0时,直线与抛物线有两个交点(0,0),(2,4).

又∵x>0,∴有1个交点.

(ⅲ)a>0时,x>a,有1个交点.

综上,得出结论:a<-12时,原方程无解;a=-12时,原方程有1个解;-12

例3 已知k∈R,讨论关于x的方程|x2-1|-x-k=0的解的情况.

解 原方程可化为|x2-1|=x+k.

令C1:y1=|x2-1|;C2:y2=x+k.

作出函数y1=|x-1|和y2=x+k的图像,考虑交点即可以得出结论.

① k<-1时,C1与C2无交点,原方程无解.

② k=-1时,C1与C2有1个交点,原方程有1个解.

③ -1

④ k=1时,C1与C2有3个交点,原方程有3个解.

⑤ 相切时,-x2+1=x+k,x2+x+k-1=0,Δ=1-4(k-1)=0,k=54时,C1与C2有3个交点,原程有3个解.

⑥ 1

⑦ k>54时,C1与C2有2个交点,原程有2个解.

例4 已知曲线C:y=|x2-8x+16+λ|(λ为常数),直线l:y=2x-4,由λ的取值范围确定曲线C与直线l的交点个数.

请读者自己作出图像并讨论交点个数.

从上面几例题可以看出,如果我们遇到有关讨论含参数方程解的个数问题,可以借助于函数图像,找到一条曲线和一条动曲线,通过动曲线的移动,寻找参数的变化范围,确定两曲线交点的个数,从而达到讨论清楚方程解的个数的目的.这样,就可简洁明了地解决问题.

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