蒋玲玲

(杭州市富阳区永兴学校初中部,浙江 杭州 311400)

《义务教育数学课程标准(2022年版)》指出,几何直观主要是指运用图表描述和分析问题的意识与习惯,根据语言描述画出相应的图形,分析其性质,建立数与形的联系,明晰问题解决的思维路径[1].“代数表达”是对平面几何的直观图形和图形变化的定量刻画,通过对角度、长度的度量以及位置关系的定量分析[2],以特定的代数形式进行表达.在初中平面几何问题中,“图形结构”如何进行“代数表达”,“代数表达”又在刻画什么样的“图形结构”,这是学生的难点,使其无法理解问题的本质.几何直观能为学生建立“图形结构”和“代数表达”的桥梁,分析图形结构的元素与性质,为其代数表达指明方向,启发问题解决的思路.笔者以2023年浙江省杭州市数学中考第23题为例进行剖析与思考.

1 试题呈现

例1如图1,在⊙O中,直径AB垂直弦CD于点E,联结AC,AD,BC,作CF⊥AD于点F,交线段OB于点G(不与点O,B重合),联结OF.

图1

1)若BE=1,求GE的长;

2)求证:BC2=BG·BO;

3)若FO=FG,猜想∠CAD的度数,并证明你的结论.

(2023年浙江省杭州市数学中考试题第23题)

分析作为2023年浙江省杭州市数学中考试卷的最后一题,整个图形结构可以说“中规中矩”,简洁明了,对其进行定性分析,可得以下基本结论:

1)整个图形由弦CD的位置决定,可由弦CD的长度或∠CAD的大小刻画;

2)整个图形结构是轴对称的,局部图形结构有等腰△ACD,Rt△ACF,以及“双垂形”“八字形”下的直角三角形相似,有Rt△CDF∽Rt△CGE∽Rt△AGF∽Rt△ABC∽Rt△ACE∽Rt△CBE;

3)点G是△ACD的垂心.

2 解法探究

2.1 观察元素关系,识别“代数表达”下的本质结构

第……