唐亚军, 范明志

(1.南通市海门港新区实验初级中学,江苏 南通 226100;2.阜阳实验中学南校区,安徽 阜阳 236113)

初中学业水平考试(中考)为评价区域和学校教学质量、改进教学提供重要的参考.《义务教育数学课程标准(2022年版)》要求试题命制要“坚持素养立意,凸显育人导向”,既要关注数学的本质,又要关注通性通法[1].圆自古以来就是平面几何的主角,是曲线型图形的代表,无论是与其他几何图形的关系,还是其研究的内容、结构、过程与方法等,都可以给学生更多的自主探究的机会[2],可以更好地培养学生的创新思维、理性思维与科学精神,提升学生的素养.圆是各省市数学中考的必考内容,其中圆与锐角三角函数结合的题目难度大,综合性高,学生总是难以把握这类题型的本质.因此,总结题型,关注此类题的通性通法,是打破该桎梏的重要方法之一.

总结2023年中考圆与锐角三角函数综合试题可以发现,都是进行求值,总体分为3类:“求”三角函数值、“给”三角函数值、“用”三角函数值.

1 “求”三角函数值

该类题型是求某一个角的三角函数值.在初中阶段,三角函数值的计算是放在直角三角形中的,因此,该类题型的本质是作所求角的直角三角形或将所求角转化,找出含有其等角或同角的直角三角形进行解题.

1.1 构造直角三角形法

图1 图2

1)求⊙O的半径;

2)求∠BAC的正切值.

(2023年上海市数学中考试题第21题)

分析如图2,作OE⊥AB于点E,CF⊥AB于点F,在第1)小题求出⊙O的半径OB=5之后,相应地求出OE=3,BE=AE=4,OC=2.5.此时要想求出……