李崇榆 (华南师范大学数学科学学院 510631)

在2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2022年全国高中数学联合竞赛一试(A1)卷中,解析几何题第10题以直线与抛物线、双曲线的位置关系为命题背景,考查学生的逻辑推理和数学运算能力．本文从不同角度研究其解法并将其推广,与读者分享．

1 试题呈现

在平面直角坐标系xOy中,设一条动直线l与抛物线Γ:y2=4x相切,且与双曲线Ω:x2-y2=1的左、右两支分别交于点A,B．求△AOB面积的最小值(图1)．

图1

2 问题剖析

综上,本题作为高中数学联赛解答题的第二题,难度中等,综合性较强,除高中数学联赛外,也适用于高考解析几何的复习中,既能巩固学生的基础知识,训练基本的解题策略与技巧,又能在一题多解与推广中提高思维能力和数学运算能力,调动学习的兴趣,培养主动探究精神[1]．

3 解法探究

①展开S△AOB,利用基本不等式求最值:

②展开S△AOB后进行配方与换元,求二次函数的最值:

③展开S△AOB,利用导数法求最值:

最值问题是圆锥曲线的重点专题,也是学生学习的难点．对于此类分式型函数求最值,关键是抓住分式型函数的特征,通过等价变形或换元简化式子结构,从而利用基本不等式或函数的单调性求最值．其中导数法是求最值的通法,但不一定是最简便的方法．

评注2在解法1中,若记直线和曲线联立后化简所得式子为Ax2+Bx+C=0(A≠0),则可利用下式简化运算:

评注3在解法1中,切点的设法还有很多,如P(n2,2n)(n>0)或P(4m2,4m)(m>0)等,但解答与解法1是一致的,只需用n2或4m2替换解法1中的t即可．

4……

登录APP查看全文