耿玲玲

［摘  要］ 数学教学具有发展学生数学思维，培养学生数学核心素养的重要作用. 然而，数学教学实践效果常与教师预期目标有偏差. 文章以“数列求和”（错位相减法）为例，扫描错位相减法教学片段，以执教者的心路历程为主线，从教学简录、教学困惑、错因分析以及教学反思等方面展开阐述.

［关键词］ 错位相减法；教学简录；教学困惑；错因分析；教学反思

肖川教授在《教育的使命与责任》一书中提出：学生在被信任的状态下学习时，会学得更好；学生在自主参与探索时，能学得更好；学生存在更高期许时，能学得更好. 由此可见，学生的学习状态受教学内容、教师态度以及自我期许等综合因素的影响. 笔者在“数列求和”（错位相减法）的复习过程中，因学生有一定的基础，高估了学生的认知水平，发生了一些“意外”，就此引发了一些思考.

教学背景

本节课的授课对象为普通高中文科班学生，学生的数学基础与学习能力均一般，但班风好，学生学习态度端正，能积极参与课堂活动；授课内容主要是“错位相减法求和”，并在此基础上让学生掌握几种特殊的数列求和法. 对于教师而言，“错位相减法求和”是特别简单的内容，几乎不用教师花费多少时间与精力去讲解、引导与探索，就能顺利完成教学任务.

案例扫描

师：大家说说哪类数列适合用错位相减法求和呢？

生1：若一个数列的各项都是由一个等差数列和一个等比数列对应项乘积所组成的，这类数列适合用错位相减法求和.

师：非常好！这是我们所知道的一种数列类型. 其实，可以用错位相减法求和的数列不止这一类.

为了调动学生的探索欲，笔者在此处创设了一个与本节课教学内容相关，又贴近学生生活实际的情境.

情境：一天，教研员到某班听课，课堂教学内容为“用错位相减法求数列的前n项和”. 新课讲授接近尾声时，教师编拟出了一道练习题，并随机抽取了三名学生到黑板上演示“用错位相减法求数列的前n项和”，大家猜猜结果是怎样的？

学生异口同声回答：肯定都做对了.

师：非常遗憾，三名学生解题统统失败.

学生感到不可思议，纷纷议论开来，笔者见这个情境成功地吸引住了学生的注意力，便趁热打铁，适时抛出新的问题.

师：大家来看，这边有一个问题.

随着问题的提出，学生很快进入了探索状态. 不久，大部分学生表示已经完成，笔者看到学生自信满满的状态，就采取了访谈的方式教学本题.

教学困惑：课堂教学流程并没有大问题，在小结环节中，笔者针对一些题目还特别强调了“要注意的地方”. 为什么学生仍然没有理解这个知识点（错位相减法求和）的实际应用呢？

错因分析

为了解开这个困惑，笔者特别找了几个认知水平不错却没有做对的学生，要求他们在办公室解题. 解题后，笔者发现这几位学生的解题过程都存在一些问题. 现将几种常见的错误与原因罗列如下：

错因 式①减式②并非错位相减，而是对应相减，导致循环推理错误. 同时，这种解法将指数幂分母轻易变形，改变了数列原有的结构特征，影响了规律的寻找.

综上所述，这些错误都属于没有含金量的低级错误，本不应该出现在高三学生身上，但事實胜于雄辩，出现这些错误的学生还不少. 其实，有些小错误只要稍微用点心，取特殊值验证就能发现问题，但多数学生想不到.

细细剖析这些错因，主要源于以下两类情况：第一，由认知因素导致，如错解1对解题方法不理解，错解3对概念掌握不透彻，错解4对公式应用不灵活；第二，由非智力因素导致，如错解2、错解5的运算粗心或书写不规范等.

透过学生的错误类型不难发现，学生对错位相减法的掌握并不牢固，从中也投射出教学方法存在不少问题. 基于此，笔者进行了深刻反思.

教学反思

1. 教学设计，应了解学情

新课标明确提出，学生才是课堂的主人，任何教学活动的开展应基于“以生为本”的理念实施. 本节课，笔者从自身认知水平出发，觉得讲授错位相减法是一项非常简单的教学任务，理所当然地认为学生能快速理解并掌握——认为学生接触本节课内容前复习过等比数列前n项和的公式推导过程，对错位相减法有一定的知识基础. 基于以上判断，出现了问题缺乏针对性，预设不合理的教学情况.

本节课的讲授对象为普通文科学生，虽然班风正，学习氛围好，但学生的数学思维仍不够深入，即使之前接触过“错位相减法求和”相关知识，但时间一久就遗忘了，尤其是细节方面几乎遗忘殆尽. 又由于笔者课前没有利用一定的手段（如学前问卷调查等）对学生的实际情况进行摸排，只是从自身的角度出发判断学生处于怎样的认知水平，导致所提出的问题显然高于学生的实际认知水平.

因此笔者认为，在教学设计前，教师应从根本上了解学生的实际认知水平——有时教师认为非常简单的知识，在学生那里有可能因为时隔已久而感到陌生. 在教学设计时，教师尤其要注意，随着教龄的增加，与教材的距离越来越近，甚至烂熟于心，容易提出离学生实际认知水平越来越远的问题.

陶行知先生认为，教什么？怎么教？需要考虑“人”的问题，针对不同的人，教的内容、方法、分量、次序都不同. 每节课的教学设计，应从学情出发，只有将“以人为本”“因材施教”“以学定教”等理念落到实处，才能设计出与学生认知与思维相匹配的教学活动.

2. 例题教学，应变式拓展

例题教学在数学课堂中的应用较为广泛，它能激活学生思维，让学生将所学习的内容灵活地应用到实践中. 本节课中除了错位相减法外，还涉及“分组求和”“倒序相加”等数列求和法，笔者对这几种方法的复习用力均匀，并没有突出重点，也没有意识到错位相减法是难点，更没有在课堂上检查学生的学习情况，只是带领学生粗浅地探索了一般性问题，导致学生理解不透彻的现象出现了.

由此也可以看出，笔者对本节课的教学定位不准确，师生之间缺乏有效沟通，无法摸清课堂教学真正的成效. 数学教学切忌“就题论题”，这样浮光掠影的教学方式，学生难以从根本上掌握知识本质，更难以建构完整的认知体系. 变式的应用，不仅能强化学生对知识的理解，还能激活学生思維，发展学生的创新意识，对推动学生核心素养的形成具有不可估量的作用.

本节课的例题教学环节，在原题的基础上，教师可以设计如下变式：

以上变式可以在教师课前结合学情就预设好，也可以在课堂中结合实际教学情况动态生成，亦可从学生解题的过程中收集而来. 不论是哪种获取方式，都能有效启发学生思维，提高教学效果. 当然，例题教学还可以应用小组合作交流与汇报展示的方式进行.

3. 教学方法，应深析本质

课堂教学只有揭露出知识的本质与内涵，才能帮助学生建构完整的知识体系. 本节课，在学生的作业出现较多错误的情况下，笔者特别访谈了部分学生，发现他们对错位相减法的本质并不理解，只是依葫芦画瓢，模仿课堂例题去解题，对于“为什么这么做”“这么解题究竟对不对”并没有考虑过. 追根溯源，在于笔者的教学方法过于老套，没有引导学生探究错位相减法的本质.

数学教学不仅是知识教学，更是方法教学，教师不仅要教会学生解题，还要引导学生知道这么解题的原因是什么. 机械记忆与套用模式只能在大脑中留下短暂的印迹，难以长久保持，只有弄清问题的本质，才能以不变应万变.

那么，错位相减法求和的本质究竟是什么呢？所谓错位相减法求和，即先在等式的等号两边同时乘公比（或公比的倒数），使新等式与原等式存在大量同类项，两式相减后得到的式子有许多有规律的项，由此再利用等比数列求和公式求和. 值得注意的是，想要发现这些有规律的项，需要将两个式子的同类项列在同一列上，便于相减时发现其中的特点，如“差是什么”“有多少项（常为n或n－1项）”.

如果将“求和”的本质理解为减少项数或化简，那么转化化归就是错位相减法求和，即将“非等比数列求和”转化成“等比数列求和”来解决，也就是揭露等比数列与非等比数列的内在联系. 学生一旦明确错位相减法求和的本质与操作程序，解题的思维起点就高了，出错误的概率必然减少，教学成效也会显著提高.

总之，数学课堂教学不能因为学生有一定基础就加快节奏，想要提高教学成效，必须立足学情与教学内容的特征，放缓教学节奏、注重细节、学会宽容、等待学生，让每个水平层次的学生都拥有暴露思维的机会，在充足的空间与时间内进行思考. 同时，作为一线数学教师应不断审视自身的教学行为，与时俱进地更新教学理念，秉持教育公平，不断提升自身的业务水平，让每个学生都能在教学中获得不同程度的发展.