范韦莉

摘要：符号的使用是代数学习的基础。若单纯地向学生解释等号的含义，没有直观支撑，学生就很难在脑中形成表象。《等号的再认识》一课教学，借助“数字天平”这一工具，建立天平平衡就可用等号连接的心智模型，通过创设有趣、有序、有料的学习活动，帮助学生初步建立平衡观念，经历等号的再创造过程，进而理解等号是用来表示左右相等的关系的。

关键词：小学数学；数学符号；等号；本质意义；代数思维

数学符号是一种含义高度概括、形象高度浓缩的、抽象的科学语言。《义务教育数学课程标准（2022年版）》把对数学符号的认识、理解和运用作为数学学习的重要目标之一，要求学生能够感悟符号的数学功能，初步体会符号的使用是数学表达和数学思考的重要形式。在教学中，如何帮助学生理解数学符号的本质呢？下面结合我们自主开发的《等号的再认识》一课，谈谈我们的设计与思考。

一、研究缘由

在一年级学习了“20以内的进位加和退位减”后，教师经常会出示“2＋（        ）＝（       ）＋3”这样的练习。看似简单的题目，错误率却很高，学生容易出现如图1所示的错误。

无独有偶。与一位家长交流，她提到她的孩子早就会20 以内的加减法了，对“2＋6＝□”的练习已非常熟练。但有一次，她偶然将算式写成“□＝2＋6”，孩子居然不会做。对此，她很是困惑。

为什么会出现这样的现象呢？这是学生普遍存在的共性问题还是特例？为了一探究竟，我们对一年级76位学生开展了调查，测试题目以及结果如表1所示。

上述4道题，除了考查计算能力外，还考查学生对符号的理解能力。学生需凭借对等号的意义的深入理解，才能顺利解决这4道题。在对学生进行访谈，并分析收上来的问卷后，我们找到了学生出错的两个原因：

首先，未真正理解等号的含义。“等号”在《辞海》中的解释是“相等”，是一种表示相等关系的符号。学生对等号的最初理解，就是数量上的“同样多”。比如，有两种小动物，小猴子有4只，小兔子也有4只，从而抽象出“4＝4”，以此理解等号用来表示两个数相等。随着学习的进一步深入，学生会接触到如“3＋2＝5”这样的计算练习，进入大量“运算—等号—答案”的训练模式，此时他们会认为等号只是连接算式和结果的一个符号，从而忽视等号的本质含义。

其次，对等号的理解需要过程。比如，“2＋6＝□”和“□＝2＋6”两个式子从数字、符号来看是一样的，但是从问题解决的思维过程来看是不一样的。如果把前者“两个数合并运算得到結果”的解决方式看作顺向思维，那么，后者则需要逆向思维和平衡观念的参与。根据皮亚杰的研究，儿童从前运算阶段（大约在2—7岁）开始直到具体运算阶段（大约在7—11 岁）才逐渐形成逆向思维和平衡观念。因此，学生出错也是正常的。

二、教学设计与说明

符号的使用是代数学习的基础。因此，打破学生原有的错误认知并进行概念的再建构是有必要的。但若单纯地向学生解释等号的含义，没有直观支撑，学生就很难在脑中形成表象。因此，我们借助“数字天平”这一工具，建立天平平衡就可用等号连接的心智模型，通过创设有趣、有序、有料的学习活动，帮助学生初步建立平衡观念，经历等号的再创造过程，进而理解等号是用来表示左右相等的关系的。

【片段1】 在熟悉天平构造的过程中唤起学生对等号的认识

课堂伊始，教师出示数字天平（见图2），告诉学生天平的左右两臂上分别有10 个等距的挂钩，还有若干个一样重的卡片可以挂在钩子上。学生观察数字天平后，能联想到“＞”“＜”和“＝”这些数学符号。教师可顺势指出：今天，我们就借助数字天平再次认识等号。

教师进一步提醒“其实前段时间才学习过等号”，并出示教材上的例题图（见下页图3），引导学生结合图说一说对等号的理解。学生能感受到，当两种物体同样多时，就可以用“＝”连接。

教师操作示范，利用数字天平，表示“4＝4”。学生能观察到：当两个重量卡片分别挂到左边的“4”和右边的“4”上时，天平就平衡了。接着，教师提示学生可以尝试用两个重量卡片让数字天平保持平衡。学生通过操作很快明白：只要两边挂在相同的数字上，也就是左边的数和右边的数相等，天平就平衡了。

［说明：等号第一次出现在教材中，是比较两种小动物数量的多少，由“同样多”引入符号化表达：4＝4。此处，意在帮助学生回顾学习历程，唤醒已有经验。用两个同样的重量卡片在数字天平上制造平衡：一是帮助学生熟悉天平的构造，理解天平平衡的原理；二是帮助学生在操作中初步建构平衡表象，为下一步深入研究做铺垫。］

【片段2】 在构建“9＝□＋□”的过程中萌发学生的代数思维

教师提问：“有3个重量卡片，将其中1个卡片挂在左边的“9”上，还有2个挂在右边，怎么挂能让天平平衡呢？”

预设：学生上台操作，将重量卡片挂在右边的“2”和“7”上。

教师引导：“我们可以把这个过程记录下来。左边挂在‘9上，右边挂在‘2和‘7上，天平就平衡了，可以写成9＝2＋7。会读这个等式吗？”让学生齐读。

教师提问：“还能怎么挂呢？下面，请小朋友在小组里轮流操作。”

预设：左边挂在“9”上，右边挂在“1”和“8”上，可以写成9＝1＋8；左边挂在“9”上，右边挂在“4”和“5”上，可以写成9＝4＋5。

在学生反馈的过程中，教师始终以核心问题“能用等号连接吗？为什么？”引发学生思考等号的本质含义。

值得关注的是，在活动开展过程中，有些学生不是立刻就明白其中的道理。如左边挂在“9”上后，右边挂了2个在“5”上，学生发现天平往右边倾斜了，于是，调整再调整，直至平衡。学生通过操作、合作、交流、思考等过程，能感悟到只要右边数字的和是9，天平就会保持平衡，就可以用等号连接。

［说明：“9＝□＋□”这个等式，从算术的角度看，通常被理解为表示数的分解，即9分为两个数的和；从代数的角度看，则可以理解为表示数与式的等值。借助数字天平构建“9＝□＋□”，让学生多元表征“平衡”，正是帮助学生感悟等号的本质含义。这个过程符合学生的认知发展水平，其优势在于学生内隐的思维过程可以通过操作外显，并得到直接检验。而且，这种源于对天平的意义的理解，推动了学生从算术思维到代数思维的过渡，使得抽象的等式变得简明易懂。］

【片段3】 在自主构建等式的过程中丰富学生对等号意义的理解

教师提问：“如果有4个重量卡片，都要挂在天平上，怎么挂能让天平平衡呢？”

在学生操作数字天平之前，教师提醒他们不要盲目地尝试，可以先思考可以怎么做，然后动手验证自己的想法，最后把操作的过程和结果用等号记录下来。

学生自主操作，教师巡视指导，收集不同的作品。

反馈交流的过程中，学生能创造出很多不同的平衡方式：（1）一边放1个重量卡片，另一边放3个重量卡片。如2＋2＋2＝6，9＝3＋3＋3（为乘法的学习做铺垫），9＝1＋4＋4（为乘加、有余数的除法的学习积累经验）。（2）左右两边各放2个重量卡片。如2＋4＝4＋2（渗透加法交换律），3＋9＝10＋2（为进位加法的学习积累经验）。

教师引导：“仔细观察这些等式，等号的左边可以是一个数，也可以是一个式子。无论是哪种，只要怎么样，就可以用‘＝连接？”

预设：学生发现只要两边在运算之后是相等的，就可以用“＝”连接。

［说明：在操作数字天平的过程中，学生的第一层次思维唤起的是“同数即等式”，如4＝4，10＝10；第二层次思维突破的是“等量即等式”，如当左边为定值9，右边两个重量卡片的和为9，天平就会平衡；第三层次思维进阶的是“总和相等即等式”，即“有4个重量卡片，怎么挂能让天平平衡呢？”这一问题激发了学生的创造潜能，让他们认识到，无论哪种平衡方式，只要左右两边的总和相等，天平就会平衡。如此不断循环、螺旋上升，促使学生对等号的理解更加全面、立体。］

【片段4】 在拓展练习中加深学生对等号关系性意义的认知

教师启发：“现在大家对等号有了更深的认识，请带着你们的智慧，动动手、动动脑，一起来填空。”

教师出示：10＝（）＋（），1＋7＝（）＋3，2＋3＝6－（）。让学生独立解答。

教师在巡视的过程中可以发现，这几个小题的正确率非常高。在组织交流的过程中教师还会发现，学生不仅能说出自己是如何思考的，還能验证自己的答案是否正确。

课的结尾，教师以视频的方式介绍等号的由来，让学生了解到“＝”的产生经历了漫长的过程，但这个符号本身就表达着相等的含义，而且简洁、对称，所以一直被用到现在。

［说明：上述几个环节旨在让学生通过动手“做”获得亲身感悟，打破学生原有对等号的狭隘认识，帮助学生将认识拓展到左右平衡就可以用等号来连接。当然，教学绝不能停留在引导学生操作实物的阶段。在操作之后，教师还要帮助学生经历从直观到抽象的过程，引导学生思考与提升。此环节的几个小题，也是对前面操作天平的成果检验。］