章飞等

摘要：针对《义务教育数学课程标准（2022年版）》突出的概念、强调的理念及其如何在教学中落地，采用线上“十人谈”的方式展开研讨。对数学核心素养在课程内容中的体现和“三会”表达、代数推理、概念产生的必要性、教学内容的结构化、数学教学中的一致性、解题教学中序的思想、数学德育、数学教学生活化以及跨学科学习、综合与实践等话题结合教学实践做了解读。

关键词：新课标；初中数学；核心素养；跨学科学习；代数推理

赵维坤：《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）颁布后，按照教育部的要求，我们未来的教学，包括2022—2023这个依然使用老教材的学年的教学，就应该要较好地体现新课标的理念。所以，《教育研究与评论》杂志就组织了这样一个线上“十人谈”活动，请大家来谈谈这个话题。下面，我们就围绕大家预先提出的一些感兴趣的子话题来谈一谈。首先请章飞教授给我们开篇。

章飞：新课标多次明确核心素养导向。这一点从课程内容的选择来看，就已经很清楚了。对每个课程内容领域，都首先把对应的核心素养表现说得很清楚。比如，初中部分的统计与概率领域，就是数据观念。对于数据观念，在课程目标里，有一段具体、全面的描述，把它的内涵、外延、价值都讲得很清楚。那么，我就在想：在课程内容里，到底怎么体现这一核心素养呢？

我只谈这次增加的两个内容。一个是“经历数据分类的活动，知道按照组内离差平方和最小的原则对数据进行分类的方法”，另一个是“会计算四分位数，了解四分位数和箱线图的关系，感悟百分位数的意义”。这两个内容，实际上一线教师都不熟悉。对“征求意见稿”提建议时，很多人都问：为什么要讲这两个内容？我现在的理解是，总的来讲，它们确实关注了学生的未来发展，关注了对数据本身的一种整体认识（这是统计学最核心的东西），所以是有很清晰的核心素养导向的。

先来看第一个内容——数据分类，从思维的要求上来讲，实际上很简单——人们对很多东西都会进行分类，比如一堆苹果，其中可能有大、中、小之分。在现代社会，很多互联网公司，需要对用户进行“画像”——具体地知道这个用户到底有什么需求。比如阅读网站，可能就要了解用户的兴趣、喜欢的风格等。这时候实际上，对每一个维度，就要对用户进行分类了。比如，作品的风格有哪几类？什么样的人喜欢这个作品的风格？也就是，在现代社会，有了大數据以后，自然就要进行分类，所以，新课标希望将这个内容放进来。但是，二维数据的分组（分类）是很难的，学生的能力要求也不够，所以，新课标新增的是一维数据，也就是一组数的分组。一维数据的分组要遵循“组内差不多，组间差得多”的原则，那么，怎么实现这个原则？实际上，没有绝对统一的办法。新课标提供了一个传统的方法，即组内离差平方和最小的方法——这实际上是统计与概率领域十分重要的最小二乘法（一维数据的均值、二维数据的线性回归方程都是由它得到的）的体现。可见，选这个内容就是因为学生未来真的需要它。所以，新课标的课程内容选择特别关注学生的未来发展。

再来看第二个内容——箱线图、四分位数。过去，拿到一组数据，一般是求均值、方差。但是，只有均值、方差，并不能完全反映一组数据的整体分布。在数据分布比较正态的情况下，只要均值、方差定了，数据的整体状况就有了，刻画百分之多少的数据也都是很清楚的。但问题是，生活中的数据不一定是正态的，偏态的数据很多。比如，学生的考试成绩一般都是偏态的。再者，即使数据是正态的，如果没有分布的图像，只有均值和方差，要初中生直观地感受到数据的分布，也是很困难的。而新课标增加的箱线图，就可以很好地反映数据的分布。箱线图中有中位数，还有25%、75%这两个四分位数，此外有最高值、最低值，相当于100%、0%的数。这样，就相当于把一组数据用五个点分成四段，清清楚楚。所以，通过箱线图一下子就能看出数据的分布状况。我想，这一点修改可能也表明，新课标对整个统计的认识发生了变化。也就是说，教统计不只要教数据的具体的特征数值（如均值、方差等），更重要的是对整个数据的总体把握。

赵维坤：感谢章教授给我们开了个头，后面还需要您继续把脉、指点。章教授结合具体的课程内容，告诉了我们新课标在课程目标上最重要的一个变化。下面请朱建明主任再给我们指指方向。

朱建明：2021年年初，我们把史宁中校长请到南京，给我们做了关于新课标的一个培训。史校长特别提出，新课标在两个方面有了比较大的变化：一个是代数推理，另一个是几何作图。我个人的认识是，这两个方面其实都是推理能力或者说推理素养培养的重要载体。所以从这个角度来讲，以素养为导向的新课标应该说对教育教学提出了更高的要求。

这里，我想就代数推理谈一些想法。我们南京的初中数学团队领衔了一个课题，就是代数推理的研究。推理是数学基本的思维方式，也是思维过程。推理包括合情推理和演绎推理。在以往的数学教学中，推理（特别是演绎推理）应该说在图形与几何这一领域中体现得更为充分，而相对来说在数与代数这一领域中体现得还不够充分——当然，运算也是推理。现在，我们将代数推理分成两个方面：一是运算推理，二是命题推理。对运算推理，不管是新课标还是旧课标，都非常重视；而对命题推理，重视程度则是不足的。

我们查阅了一些资料，发现美国、英国、澳大利亚这些国家或者它们一些州的数学课程标准，对代数推理也提出了专门的要求。我们还研究了一些教材。比如，从20世纪80年代末到21世纪初这十几年，南京的一些学校实验过一套教材，即著名华人数学家项武义先生主编的《中学数学实验教材》。在这套教材中，有大量的代数命题推理。这套教材是从结构的观点出发编写的，逻辑上比较严谨——当然，也就有一定的难度。我认为，使用这套教材的学生的数学素养是比较好的，或者说是有一些优势的。最为典型的是南京市第一中学的初中，在使用这套教材期间，他们在南京市中考数学考试中，连续十多年取得了很好的成绩。

我也做过高中教研员。在高中数学内容中，有大量的代数命题推理。比如函数的单调性证明、奇偶性证明，还有导数中的一些证明、数列中的一些证明、复数中的一些证明。那么，从初高衔接的角度来讲，初中在代数命题推理这一方面，从内容到教学确实都存在着很大的缺失。

现在，新课标在代数推理方面，明确地提出了两个基本事实：一个是相等关系的传递性，另一个是等式的基本性质（以及不等式的基本性质）。依据这两个基本事实，可以对一些相关的内容进行一些代数推理（特别是命题推理）的教学，并开展一些研究。我们在这个方面已经开设了十几节课，感觉到非常有意思：在控制好难度、精选好内容的情况下，应该说能达到非常好的效果。

举一个例子，学完不等式的基本性质后，我们让学生比较一些式子的大小，并且说明理由。比如，比较a+3与a的大小，要学生利用不等式的基本性质来说明得到的结论。再如，比较b-1与b、c-2与c+1等的大小。这是一种，还有一种就是已知一定的条件，比较式子的大小，并且说明理由。比如，已知a＜1，比较a和a+12的大小。

学生经过演绎推理三段论的训练后，应该说还是能很好地掌握的。当然，这里有方法上的一些选择，如比较法、分析法、综合法等。对此，我们又形成了一些结论：使用综合法作为主流的方法，而将比较法作为辅助的方法，分析法作为工具（分析的工具）来使用。当然，在初中数学教学过程中渗透代数命题推理，要把控好难度：三步（三个推断）以内，学生完全是可以掌握的。而且，对代数推理进行方法上的学习，对后面几何证明的学习有非常大的促进作用。

赵维坤：谢谢！下面请钱德春主任接着谈谈这个话题。

钱德春：好的。其实，关于这个话题，我在2017年和2020年都写过文章，发表在《中学数学教学参考》上。刚才，朱主任讲到，代数推理有它的内涵。我觉得，它可以分为三个方面。一个是代数运算，它本身就是推理。什么叫演绎推理？就是从条件出发，根据定义、基本事实、定理、公式、法则等得到结论。代数运算就是这样做的。第二个是代数变形。很多问题的解决都需要代数变形。代数运算一般指向结果的最简化，而代数变形是将代数式向特定的代数结构转化。再一个就是刚才朱主任说的一些命题的证明。所以，我想讲的第一点是，不要把代数推理神秘化。当然，也不要把代数推理窄化，不要以为只有证明才是推理。

我想講的第二点是，要把代数推理的教学融入日常的课堂中。以“一元二次方程根的判别式”为例。比如方程x2+3x+1=0，它的判别式算出来等于5，大于0，所以它有两个不相等的实数根。这个过程看上去很简单，但是如果把它分解的话，就是一个标准的三段论。大前提是这样一个一般的命题：一般的一元二次方程在判别式大于0时，有两个不相等的实数根。小前提是，具体的一元二次方程x2+3x+1=0的判别式大于0。结论是，这个方程有两个不相等的实数根。这个过程就是典型的演绎推理——从一般到特殊的推理。我们讲课时，可以适当地渗透这种思想。

除了代数推理，新课标还强调了什么？我关注到的是概念产生的必要性、概念名称的合理性、概念定义的科学性。我们听课也好，教学也好，可能都没有很好地关注到这些内容。

比如，一元二次方程概念的教学，苏科版初中数学教材给了一些现实生活中的例子，然后让学生列方程；列了以后，没有整理，就让学生归纳这些方程有什么共同的特点；最后得到“它们含有一个未知数，未知数的最高次数是2，这样的方程就叫一元二次方程”。这样的教学好像也可以，但是我们应该考虑：学生列出方程之后，最关心什么？我认为，他们可能并不关心概念是什么；对于根据实际问题列出的方程，他们关心的是怎么解、答案是多少。其中有一个方程是x2=2，这个方程开平方好解。还有一个增长率问题，列出的方程是（1+x）2=1.96，这个方程开平方也可以解。但是还有一些方程，学生就没办法解了。遇到问题后，学生就会想：能不能把它转化为我学过的方程？但是，他们只学过一元一次方程、二元一次方程，一下子不能转化，也就产生认知冲突了。这时，他们才觉得这个方程有研究、学习的价值。这就是概念产生的必要性。

再来看概念名称的合理性。其实，这里的方程叫什么方程，教师不讲，而直接问学生，学生也会知道：叫一元二次方程。如果教师继续问：为什么叫一元二次方程？学生就会把初一学过的一元一次方程、二元一次方程拿来比较，发现：“一元”“二元”指未知数的个数，“一次”指未知数的次数。

还有概念定义的科学性。究竟什么叫一元二次方程呢？可能“学优生”不会有问题，但中等生和“学困生”就有问题了。他们会机械地模仿：只含有一个未知数，未知数的次数为2的方程。这个定义是有问题的：缩小了概念的内涵，扩大了概念的外延。举个例子：x2+3x+1=0这个方程，未知数的次数是2吗？显然，3x这一项未知数的次数是1。由此，可逐步完善定义，得到：未知数的最高次数为2。

当然，还有一致性的问题，我就不多说了。现在的课堂上，如果教师不讲，学生往往也不会提出这些疑问。因为他们习惯了“你讲我听”，听懂了以后考试有用，而不去思考概念产生的必要性，不去研究它的合理性、科学性。

再如，圆周角概念的教学，很多教师都先引导学生复习圆心角的概念；再在有圆心角的图上画几个圆周角，让学生归纳这些圆周角有什么共同的特点；最后说，顶点在圆周上，两边与圆周相交的角，叫圆周角。这样的教学好像也没有毛病，但是对学生来说，还是不知道为什么要学习圆周角。

其实，我们可以给每个学生发一张纸，纸上印好一个圆周，标出一段圆弧；然后请学生在平面内任意取点，再把这个点和圆弧的两个端点连起来，量一量连线的夹角，发现大家量出的角的大小不一样；接着让学生把点取在圆周上，发现即使各人所取点的位置不一样，量出的角的大小也基本上是一样的。由此，学生就能发现这样的角具有“变中不变”的特性，从而觉得有必要去研究。

当然，还有合理性问题、科学性问题。这样的角叫什么角？圆周角。为什么叫圆周角？我们前面学了顶点在圆心上的角叫圆心角，那么顶点在的圆周上的角就叫圆周角。进而，什么叫圆周角？学生可能会说：顶点在圆周上的角叫圆周角。这个定义显然不对，我们可以举一些反例來精致这个概念，使定义更准确。

赵维坤：好的，谢谢！刚才，朱主任和钱主任都提到了代数推理。根据我的了解，潘小梅老师也很关注代数推理。下面欢迎潘老师发表她的见解。

潘小梅：好的。我是这样想的。推理是数学的三大基本思想之一，是一种思维方式。之前，我们按照推理的不同形式，把它分成归纳推理、类比推理、演绎推理。归纳、类比统称为合情推理，是从已有的事实出发，凭借经验和直觉进行推断——我发现，新课标已经把“合情推理”这个词去掉了，而用“推断”这个词来代替。演绎是从已有的事实，包括定义、公理、定理和确定的规则（如运算的定义、法则）出发，按照逻辑推理的法则进行证明和计算。所以，我认为，代数推理不是新的东西，只是对推理用另外一种方式分类得到的结果，是相对于几何推理而言的。代数推理的内容是以“数与代数”为主的——当然，它在几何中也有运用，但同时也运用了“数与代数”的工具。几何推理关注的是图形数量和位置的变化，相对而言，代数推理更加关注数与式的变化。所以，我觉得，新课标把“代数推理”这个词提出来，更像是给它正名。就是说，它原来其实也是存在的，现在要加以突出，来引起大家的重视。

那么，要加强代数推理的教学，是不是也可以从推理的形式上进行？我们刚才讲推理的形式有归纳、类比，还有演绎。“数与代数”的内容，比如刚才朱老师讲到的等式的基本性质、不等式的基本性质，此外还有分式的基本性质、根式的基本性质等，这些代数性质在目前的教材中普遍采取从特殊到一般、从具体到抽象的归纳方式获得。所以，归纳推理其实在代数教学中广泛存在。还有类比推理，我们可以类比分数的基本性质得到分式的基本性质，类比异分母分数的加减法则得到异分母分式的加减法则。还有演绎推理，这里面更多的就是数的运算和代数式的变形。我觉得，要特别重视各步运算的逻辑关系和代数变形的依据。

此外，我认为，要加强代数推理的话，还要特别重视解题步骤的训练（明确每一步的道理、依据）。比如解方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，每一步其实都是一个代数推理的过程。把解题步骤做好了，解题过程中的逻辑就更加清楚了。而且，如果在刚开始学习时，能按照这样的步骤进行训练，那么熟练了以后，实际上就形成了一种习惯。就像我们刚开始学习驾驶汽车时都需要有一些步骤，但是到后来就把这些动作全部连在一起了。

这里，顺便提一个我还在思考的问题。我在新课标的“教学建议”部分，看到相比于旧课标突出的一点，就是“整体把握教学内容”。其中的第一小点是“注重教学内容的结构化”，里面有这样的一句话：“通过合适的主题整合教学内容，帮助学生学会用整体的、联系的、发展的眼光看问题……”我就在思考：为什么要提这三个眼光？怎样理解这三个眼光？我是这样理解的：

“整体的眼光”也就是说，一节课不是孤立的，我们要把它放在整个单元中来研究。所以，我觉得，“整体的眼光”可能是一种教学的视角。第二个，“联系的眼光”就是要建立知识之间、知识与生活之间的联系，使得知识结构化、方法系统化。所以，我觉得，“联系的眼光”可能是一种数学的视角。第三个，“发展的眼光”就是要着眼于核心素养，也就是说，我们教学的不是一节课的知识内容（它只是一个载体），而是内容所蕴含的思想方法和学习内容的过程中获得的经验，因为是把所学的知识内容全部忘掉以后留下的思想和经验，成就了一个人的发展。所以，我觉得，“发展的眼光”可能是一种学生的视角。这样理解的话，这三个眼光也就指向我们常说的理解教学、理解数学、理解学生三个视角。

此外，我又进一步思考。“整体的眼光”是对一个事物从整体上去看，也可以理解成用“望远镜”去看一个事物。那么，“联系的眼光”可以理解成用“显微镜”去看事物之间的一些联系。而“发展的眼光”则可以理解成从事物变化的角度去看。

对此，我也做过具体的课例研究。比如，《直线和圆的位置关系》这节课，用“整体的眼光”看，所有几何图形的位置关系研究都是一个从定性描述到定量刻画的过程；用“联系的眼光”看，直线和圆的位置关系是按照公共点的个数分类的，而直线和直线的位置关系也是按照公共点的个数分类的，所以，可以借助直线和直线的位置关系来学习直线和圆的位置关系，而不是像通常一样，借助点和圆的位置关系来学习直线和圆的位置关系；用“发展的眼光”看，要研究几何图形的位置关系，和研究其他所有物体的相对位置关系一样，都可用控制变量的方法。

赵维坤：谢谢潘老师！潘老师实际上给我们提供了一种学习新课标的方法，就是在研读新课标时，要看到文本背后所蕴含的内容。这样，我们在教学实施过程中，才能够不偏离方向。刘东升老师很关注一致性的问题，这个问题其实和推理也有一定的关系。下面请刘东升老师说一说。

刘东升：好的。我就结合最近这个暑期做的一些关于新课标的教师培训，以及一些实践，谈谈我的理解。这个暑期，我们做了两个方面的专题培训：一个是教学中的一致性，另一个是解题教学中序的思想。

新课标中提到核心素养的一致性、阶段性、整体性。我选了一致性来研究，就是教学中从新授课到习题课，有哪些地方可以体现一致性。这里很难详细展开，我就结合刚才几位专家谈的代数推理来谈——它们之间有或多或少的关联。为什么新课标要突出代数推理？因为代数教学整体上的一个特点是更偏重于程序化的运算——其实，在20世纪80年代，北京师范大学曹才翰教授就已经认识到这个问题了。所以，为了适当纠偏代数的程序化运算，新课标要突出代数推理。突出代数推理，可以使代数教学在推理（尤其是演绎推理）素养培养方面很好地和几何教学进行衔接——这个就可以看成一种一致性。平面几何学习，常常是学生数学学习的一个分化点。分化的成因非常复杂，相关的变量很多，但是一个重要的原因可能是，之前的代数学习过于侧重程序化的运算，通过机械的“刷题”和超量的训练，确实能达到熟能生巧的效果，而几何学习是完全不同的思维风格，即侧重于要素分析、逻辑推理——当然，代数学习也是有比较灵活的一面的，尤其是对式子结构的观察与转化，将其与看上去不相关的那些极具一般性的代数公式、运算性质联系起来，只是与几何学习相比，可能没有那么灵活。

再来谈谈序的思想。新课标在“教学建议”“教材编写建议”等多个部分都谈到要“引发学生思考”。其实，引发学生思考的关键，就在于素材或问题呈现的顺序，也就是，哪个材料（问题）先出现，哪个材料（问题）后出现。这肯定是与教学方式、教学技艺有关的。有時，材料铺垫的密集程度可能要高一点；有时，问题呈现又要更具有挑战性。

这个序的选择，在新授课中肯定是存在的，而在习题课中可能更需要加强。我在学习新课标的时候，有一个很强烈的观感：与一线教学形成巨大反差的是，新课标对习题课，或者说解题教学，谈得不是很多。而初中数学教学的现实是，解题教学占比很大，甚至可能达到一半的课时比例。所以，把新课标的一些理念、方法体现在解题教学中，是很重要的。而且，对新授课，将来还有教材跟进，教师可以从教材中选取一些材料和问题。但是，对大量的习题课，教师怎么给学生提供材料和问题？怎么体现新课标中的选题理念、教学思想？习题教学怎样才能引发学生思考？因此，这个序的选择，是值得我们好好研究的。比如，对一个比较难的题目，是先呈现，等学生答不出来，再做比较强的教学干预呢？还是先引导学生回顾一个基本问题（如基本图形及其性质），再对这个问题做一些变式，或者再让学生围绕这个问题做一些开放式的讨论，最终让学生在这些铺垫的基础上顺利地解决那个比较难的题目？如果学生能在铺垫式回顾复习的基础上独立解决比较难的题目，那么教师不但完成了解题教学的任务，更重要的是在这个过程中，培养了学生的思考能力，激发了学生的解题自信。这个话题也很复杂，虽然我们这个暑期研究了好几次，但是我感觉，还有很多需要深入研究的地方。

赵维坤：好的。刘老师抛出了很好的研究课题，给了我们很多启发，也告诉我们研读新课标的目的是走进课堂，在课堂上落实。在数学课堂上，特别是新时代背景下，德育也是一个很重要的话题。上海的孙琪斌老师在这方面做了很多研究。下面请孙老师分享他的研究成果。

孙琪斌：谢谢！我就借今天早晨给一家报纸的德育专栏写的一个稿子的草稿，向各位专家汇报一下我的一些思考。

现在有一个非常普遍的现象：学生到了初中毕业时，就已经失去了继续学习数学的信心，丧失了终身学习数学的兴趣。面对这样的现象，我们要不要反思一下：我们还能心安理得地认为自己是一个合格甚至优秀的数学教师吗？对学生而言，成绩和分数、思维和方法、兴趣和自信、品德和素养，哪些更重要？

我很认同刚才刘东升老师的观点：数学学习离不开解题。但是，我感觉到，现在学生也说“刷题”，家长也说“刷题”，一些教师和教研员在上课和评课时也把“刷题”当作一种时尚。面对这样的现象，我们要不要反思一下：我们内心深处期望的数学教育真的是现在这个样子吗？解题教学的过程能不能培养学生质疑问难的品质？数学教学的过程能不能培养学生专注和坚持的品质？

我在看新课标的时候，专门关注了这方面的论述。比如“课程性质”中提到的：“数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展中发挥着不可替代的作用。”对此，一线教师要真正地理解数学的“不可替代”体现在哪里，然后在课堂教学中让学生也认识到这一点。再如“课程性质”中提到的：“激发学习数学的兴趣，养成独立思考的习惯和合作交流的意愿……增强社会责任感，树立正确的世界观、人生观、价值观。”解释“三会”中的数学思维时提到的“发展质疑问难的批判性思维，形成实事求是的科学态度，初步养成讲道理、有条理的思维品质，逐步形成理性精神。”这些实际上都是“立德树人”的“德”的体现。下面稍微具体地谈一谈。

谈到数学的“不可替代”，我认为在理性思维（精神）的基础上，还可以有定量意识与计算思维、逻辑意识和推理论证、统计意识和概率思维以及符号化意识和公理化思想等。这些可能是其他学科不如数学学科关注和强调的，因而是数学学科“不可替代”的东西。

而M.克莱因和米山国藏都认为，数学首先是一种精神的体现。谈到数学的精神，我认为，除了理性的精神，还有探究的精神、执着的精神、质疑的精神、实证的精神等。关于数学的精神，应该在数学教学，尤其是解题教学的过程中，进行一些润物细无声的渗透。

下面，重点谈谈理性思维（精神）。先看新课标中还有哪些表述。其一，在描述推理能力时，谈到它“有助于逐步养成重论据、合乎逻辑的思维习惯，形成实事求是的科学态度与理性精神”。其二，在描述创新意识时，谈到它“有助于形成独立思考、敢于质疑的科学态度与理性精神”。其三，在谈到教学内容与核心素养的关联时，指出对核心素养的感悟要由感性上升为理性。其四，在解释行为动词“感悟”时，指出感悟的表现就是“获得初步的理性认识”。与此同时，新课标始终没有对理性精神做一个比较清晰的界定。

而我对理性精神有一个界定：在发现问题和解决问题的过程中（包括离开学校之后做事的过程中），能够自觉地运用数学的方式进行有逻辑的思考，习惯于运用数据和事实进行有证据的表达和交流。在此基础上，我认为，理性思考首先是有序思考。“有序”就体现在面对一个问题，教师是如何思考的，学生是如何思考的；首先想到了什么，其次想到了什么；为什么要这样思考，还可以怎样思考。这一点和数学解题教学的关系是非常密切的。其次，理性思考也是有据思考。“有据”就体现在讲证据、重逻辑、求实证。具体来说，就是代数计算、几何证明等都强调步步有据、逻辑连贯，统计分析则强调用数据来说话。再次，理性思考还是有趣思考。“有趣”就体现在进入思维状态后会发现不同的想法，在分享的过程中就会觉得很有趣。

这里，我举今年上海市中考的第25题为例。该题的第（1）小题为：

如图1，在平行四边形ABCD中，P为边BC的中点，AP交BD于点E，连接CE。

（1） 若AE=CE，① 求证：平行四边形ABCD是菱形；② 如果AB=5，AE=3，求线段BD的长。

很多学生都被这一小题卡住了，不仅是学习基础不好的学生，还有一些学习成绩很好（一模、二模考到140分以上）的学生。学生为什么会被卡住？被卡在哪里了？在访谈时，我发现，对于中点，学生只按照他们习惯的方式来思考，而没有想过一般应该怎样思考。实际上，已知中点时，可以形成如图2所示的一种理性思考。所以，从思维层面进行数学教学，应该加强一些。

还是这一小题，已知两条线段相等时，应该怎样进行理性的思考？要证菱形时，一般是怎样思考的？这其实就是新课标提及的一般观念。这些东西，实际上是很多一线教师所缺乏的。

赵维坤：谢谢孙老师！孙老师给了我们很多的启发，特别是在立德树人的落实方面。其实，新一轮课程改革的主要方向就是让立德树人真正落地。所以，孙老师的研究还是很有价值的。石树伟老师，下面请你再和我们聊聊核心素养等重要话题。

石树伟：好的。我觉得新课标最大的一个变化就是将数学核心素养凝练为“三会”，我就想谈谈我对“三会”的理解。我觉得，将数学核心素养凝练为“三会”非常好，好在这样几个方面：

第一个方面是，“三会”的表述体现了数学核心素养的大众性。大家知道，《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出的数学学科核心素养有六条，包括数学抽象、逻辑推理、数学建模等。这六条核心素养的专业性非常强，不是数学专业的一般人可能难以理解。而且，也不是所有人都能形成这六条核心素养的。比如数学建模，大家知道，大学里面有专门的数学建模课程。而新课标把数学核心素养凝练成“三会”，则非常通俗易懂。而且，这个“三会”是所有人都应该具备的基本素养。所以，我觉得，它是大众素养、公民素养，符合义务教育的特征。

第二个方面是，“三会”的表述体现了数学核心素养的贴切性。首先，“三会”精简了条数，变成了三条，体现了“核心”的意蕴。高中的六条核心素养，和大家平常所理解的核心還是有差距的：六条怎么能说是核心呢？其次，数学眼光、数学思维、数学语言这样的“三会”与一般意义、平常理解的素养是一致的，体现了“素养”的意蕴。而数学抽象、逻辑推理、数学建模等更像是一种能力，是关键能力。再次，数学眼光、数学思维、数学语言体现了数学学科的特征。而抽象、推理、模型并不是数学学科所独有的。比如，物理学科也有抽象，也有推理，也有模型。

第三个方面是，“三会”的表述体现了数学核心素养的基础性。义务教育阶段对学生的素养要求不能太高，应该有基础性。比如，数学眼光聚焦于抽象的数量关系和空间形式，虽然主要表现为数学抽象，但不完全等同于数学抽象，而其实相当于数学抽象的门槛，就是一种从数学的角度去看问题的眼光。再如，数学语言虽然主要表现为数学建模，但还达不到数学建模的要求，而只是数学建模的基础。大家知道，数学建模其实包括模型建立、模型求解、模型检验、模型完善这样一个完整的过程。要完成这样一个完整的过程，对学生的素养（能力）要求还是非常高的。而数学语言其实仅仅是模型建立这一块，就是用数学的语言表达出数量之间的关系。

赵维坤：好的。石老师站在一个更高的层面，让我们看到了核心素养的基本表达在义务教育阶段和高中阶段之间的差异性。确实，“三会”的表达更能够反映出义务教育的特点。关于核心素养更多的思考，我们来听听杨丽娟校长的发言。

杨丽娟：大家好！作为一线教师，我最关心的就是怎么从内容到教学，或者说怎么在自己的课堂上既顺利地传授知识，又很好地培养学生的核心素养，从而体现数学课程的育人价值。下面，结合我的教学经验，简单地讲一讲我对新课标的一些粗浅的理解。

根据新课标的表述，数学核心素养具有一致性、阶段性和整体性。刚刚刘东升老师谈到了一致性，这里我再谈谈阶段性。从数学核心素养的培养来看，初中阶段不同于小学阶段：小学阶段侧重于经验的感悟，初中阶段就要开始侧重于概念的理解、定理的论证等。所以，初中阶段，数学的抽象性、逻辑性开始逐步增强，难度也就逐步增大。那么，如何培养初中生的“三会”核心素养？我的经验是，尽量让数学课更有生活味，从而让学生更容易接受、理解。也就是，在课堂教学中，更多地关注社会生活中与数学相关的一些信息，在解决这样的数学问题的过程中，帮助学生克服困难，树立学好数学的信心。因为初中阶段，尤其是初二年级，是学生数学学习的一个分水岭，很多学生在这一阶段对数学学习产生了恐惧的心理，觉得自己学不好。那么，我们就要想方设法提供学生感兴趣的元素，让他们觉得数学学习是有趣、有用的。而且，如果我们能在数学教学中充分利用生活信息，那么必然也可以发展学生的“三会”核心素养——简单来说，就是会观察、会思考、会表述。

首先，我们可以选取一些生活素材，帮助学生学会用数学的眼光观察现实世界。如果能从社会生活和学生已有的数学经验等方面入手，选取尽可能贴近学生现实的教学素材，那么，相应的教学任务也就比较贴近学生的年龄特征和认知特点了。这样也就利于学生经历从现实情境中抽象出数学知识与方法的过程，帮助学生发展抽象能力、推理能力。

具体来说，从初一进校开始，首先学习“有理数”，这对大多数学生来说问题不大，因为其还是建立在小学学习的数与运算的理解上的。之后，学习整式的有关内容——首先学习单项式、多项式等概念，然后学习同类项的概念，接着进行一些相关的计算。而在学习同类项的概念时，我们发现学生会卡壳。其实，我们可以借助生活中一个简单的例子——买早点的问题，很通俗地解释同类项的概念。比如，一家三口，爸爸要吃两个包子、一根油条、一杯豆浆，妈妈要吃一个包子、一根油条、一杯豆浆，小明要吃一个包子、一杯豆浆，提问题给小明：让你去买，该如何买？这时，小明利用生活经验，就会按照包子、油条、豆浆不同的种类进行计算（统计），顺利地知道应该买四个包子、两根油条、三杯豆浆。在这个过程中，学生就利用了生活经验：包子、油条、豆浆就相当于数学中的同类项概念，计算买多少的数量则类比于数学中的合并同类项。这样一来，学生就觉得很有趣，生活经验和数学知识可以紧密地联系在一起。

其次，我们可以设计一些生活情境问题，帮助学生学会用数学的思维思考现实世界。如果能围绕一个主题，由简单到复杂，开展一系列层次性的探究，引导学生一步一步、沉浸式地解决问题，那么必然可以培养学生的科学态度和理性精神，发展他们的数学思维。

以我曾经上过的一节专题研究课——《轴对称视觉下线段和的最小值问题》为例。初中数学中有一个被称为“牧童饮牛”（或“将军饮马”）的经典问题：牧童从放牛的地方出发，先到河边让牛饮水，再回家，求其所走的最短路程。这个问题学生学过之后都会解决：建立一个简单的数学模型，即在一条定直线上找一个动点，使其到定直线同侧的两个定点的距离之和最小，由此不难想到，作一个定点关于定直线的对称点，转化为到定直线异侧的两个定点的距离之和最小的问题，从而可以利用“两点之间线段最短”解决。在此基础上，我设计了变式问题，引导学生开展一系列层次性的探究。比如，我设计了一个有一定难度的变式问题：一片草地的边缘和一条河形成∠AOB，∠AOB内部的一点P处栓着一头牛，牧童先牵牛去草地OB上吃草，再牵牛去河OA边饮水，最后回到点P，请你帮助牧童设计一个最短路线。这个生活情境问题，让学生陷入了困境。于是，我引导学生分析题目中涉及的点哪些是定点、哪些是动点，以及它们之间有怎样的位置关系，然后构建相应的数学模型。这个问题其实就是，已知平面内的一个定点，找两个动点。学生慢慢深入，做了知识的延伸和拓展后，就知道要利用两次对称，再将两个对称点连接起来，从而找到所需要的两个动点。

再次，我们可以借助一些生活经验，帮助学生学会用数学的语言表达现实世界。这里，可以引导学生经历分析、比较的过程，不断优化、完善描述研究对象的数学语言，从而充分发掘学生数学应用和生活实践的潜能。

比如，在初中阶段学习函数概念时，学生常常觉得非常抽象，很难理解。其实，我们可以通过丰富多彩的生活实例，在引导学生理解事物的运动变化过程时渗透函数的思想，然后水到渠成地揭示函数的本质。可以举生活中爸爸妈妈到加油站给汽车加油的例子，展示加油表示数的动态变化情况，让学生观察什么是不变的、什么是在变的，从而知道：油的单价是不变的，所以是常量；油的数量和油的总价是在不断变化的，所以是变量。由此，让学生感受到油的数量和油的总价一一对应的数量关系和变化规律。也可以举用火柴棒搭小鱼图案的例子，让学生以表格的形式填空：一条“小鱼”用几根火柴棒？两条“小鱼”用几根火柴棒？……最后总结出n条“小鱼”用多少根火柴棒。从而感受到火柴棒的根数与“小鱼”的条数一一对应的数量关系和变化规律。还可以举水波荡漾的例子，让学生观看一滴水滴到水面后水波层层泛开的视频，感知圆的面积随半径的变大而变大的过程，从而感受到圆的半径与面积一一对应的数量关系和变化规律。通过这些例子，学生可以发现一个共性：在一个变化过程中，有兩个变量；当一个变量变化时，另一个变量也随之变化；当一个变量确定时，另一个变量也随之确定。通过生活经验，总结出几个例子的共性之后，就可以得到抽象的函数概念了。

所以，在初中数学教学中，我们需要更多地“从生活中来，到生活中去”，让学生通过对生活的观察、对生活的思考、对生活的表达做到数学的自然生成。

赵维坤：谢谢杨校长！杨校长提出了一个课堂教学如何落实核心素养培养的问题。

和刘东升老师一样，我也注意到，新课标在“教学建议”中明确地提出了一条：“选择能引发学生思考的教学方式。”并且从三个方面具体阐述：一是“丰富教学方式”，二是“重视单元整体教学设计”，三是“强化情境设计与问题提出”。这里要提一下的是，我看到一个资料上说，在新课标中，“情境”一词一共出现了138次。我就打开新课标找了一下，发现确实有很多关于情境的描述，有具体情境、简单情境、合理情境、问题情境、实际情境、现实情境、真实情境、生活情境、社会情境、数学情境、科学情境、科技情境，等等。

实际上，我们研读新课标最主要的目的是在课堂教学中落实。对此，我也思考了一下，认为主要是三点。第一点，关注知识本质的教学。数学教师应该用数学的方式教数学。比如，一些概念的教学究竟应该怎么做？对此，章建跃先生提出了很多关于一般观念的教学建议。第二点，关注知识结构的教学。对于这一点，有几位专家已经阐述或将要阐述自己的观点。第三点，关注学科融合的教学。我认为，学科融合既包括跨学科学习，也包括与数学文化的融合。新课标在“课程性质”中明确指出：“数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分。数学是自然科学的重要基础，在社会科学中发挥着越来越重要的作用……”因此，提出了跨学科学习（包括以跨学科学习为主的综合与实践活动）和数学文化渗透的要求。

这里特别要提一下跨学科学习。我看了一下《义务教育课程方案（2022年版）》。义务教育阶段有9522节课，其中13%—15%是数学课。初中每年课时要比小学多一点，那么一年应该有大约150多节数学课。如果按照10%的跨学科学习来算的话，那么一年应该有15—20节课。这么多跨学科学习的课应该怎么上？新课标中这方面的课程内容（包括具体案例）还不是太多。对此，有几位专家有观点要表述，稍后会请他们再做一些阐述。

另外，关于信息技术与数学教学之间的关系，新课标中有两个建议特别值得关注。第一个是，利用数学专用软件等教学工具开展数学实验。关于数学实验，江苏已有很好的研究和实践，也有很多的案例和经验，可能还需要在实物之外进一步发挥数学专用软件的作用。第二个是，开展线上线下融合的混合式教学，包括加强线上网络空间与线下物理空间的融合。这一方面也值得我们进一步去研究。

由于时间关系，下面我们再重点聊一下跨学科学习（包括综合与实践活动）这个话题。对此，孙学东老师申报了专门的课题，我们先请他来谈一谈。

孙学东：好的。但是，我想先谈谈我对核心素养的认识。我对新课标进行了检索，发现其中没有“数学核心素养”“数学学科核心素养”的提法，而讲的是“数学课程要培养的学生核心素养”“核心素养（在学科课程中）的主要表现”。结合刚才石树伟老师提到的“数学的核心素养更多是一种公民素养、大众素养”，我觉得其原因可能是，课程更多强调过程和经历，学科更多强调学术性质或知识划分，而初中以及小学的学习，与高中乃至大学的学习，毕竟是不同的，即学术性质不那么明显。此外还有一个理由：刚才孙琪斌老师提到数学的精神包括理性的精神、探究的精神、执着的精神、质疑的精神、实证的精神，那么，跳出数学学科来看物理、化学等其他学科，它们同样提倡这些精神，还有科学的思维、态度、责任等，所以，这些本质上就是各个学科共通的课程的核心素养。

关于核心素养，我有这样几点理解。第一个理解是，核心素养是不断发展的，是没有上限和终极状态的。我们很难说出“三会”的终极状态是怎样的。第二，核心素养往往既具有本学科的特征，也具有其他学科的特征。比如，推理是很重要的一种素养，语文学科在培养，英语学科在培养，物理、化学等学科也在培养。那么，数学学科所要培养的推理核心素养是什么呢？就是刚才孙琪斌老师提到的数学学科“不可替代”的东西。第三，核心素养不是教师教出来的，而是学生悟出来的，是在经历的过程中产生的经验的结果。正因为此，“四基”中的基本活动经验，应该是与核心素养目标最接近的。第四，核心素养的本意是使人能够恰当应对具体情境的各种能力的综合。也就是说，核心素养产生在面对具体情境的活动中，自然，核心素养的评价也应通过处理具体情境的活动。第五，核心素养还和人的知识储备和现实生活经验有关。比如，有时，煤气灶打着后，一松开关就熄灭了，需要调整风门的大小。如果有数学中二分法的知识，就会知道，从中间的位置向两边调试是最快捷的；而有些人没有二分法的知识，但是有生活经验，所以也会从中间向两边去调节。

再来谈谈赵维坤校长提出的跨学科学习这个话题。我正和我的团队一起做省级重点资助课题“初中数学跨学科综合实践的资源整合与项目设计”，即对数学跨学科的资源进行挖掘整合，然后用项目化学习的方式设计出来。实践中，有这样几点认识：

首先，新课标在“课程内容”中提出：综合与实践以跨学科主题学习为主，适当采用主题式学习和项目式学习的方式；小学阶段主要采用主题式学习，初中阶段主要采用项目式学习。我觉得，综合与实践并不等于跨学科学习，事实上，综合与实践的基础是数学内部各领域知识间的综合。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：综合与实践主要是数学知识内部的综合、数学与其他学科的综合以及数学与现实生活的综合。新课标中也有类似的明确表述。因此，数学学科完备的知识架构和研究方法，应该是数学跨学科综合实践的基础。我们很难想象，在数学基础不扎实的情况下能进行高质量的数学跨学科学习。所以，数学跨学科综合实践项目的设计应该立足于数学素养的发展，再去融合其他学科的核心知识，解决现实世界中的真实问题。

其次，跨学科的关键不是知识上的跨学科，而是思想方法的整合与融合。数学跨学科综合实践，应该以数学学科为原点，融合其他学科的知识和见解，所以要体现数学学科特征，反映数学的核心概念、思想方法、思维方式、表达方式，等等。

再次，主题式学习和项目式学习在内涵上是有区别的，主要体现在课程的内在结构上。主题式学习较多地指向多学科的内容。比如，如果把“水”作为一个主题，那么，数学学科看到的往往只是水的重量、体积（包括它们的单位）等数和量的关系，而物理学科可能就会看到水的三态，生物学科可能就会看到水对生物体的重要价值，语文学科看到的可能就是水这种文化在诗词方面的表现。但是，这些往往只是同一主题下相互独立、割裂的内容。也就是，不同的学科从自己的角度去看所需要的内容。项目式学习就不一样了，它看到的是同一主题下不可分割的那些联系。比如“体育运动中的心率”这个主题，就是通过数学建模的方式研究跳绳、跑步等过程中的心率。在这种情况下，数学、体育、生物学（包括生命健康）等相关学科的知识、见解和思想、方法都融合在了一起，并且通过持续的探究解决相关的问题。因此，主题式学习和项目式学习反映了不同的学习需求。如果只是希望学生对某个主题有不同角度的理解，则采用主题式学习比较合适。如果希望学生对核心的概念、思想有比较深刻的理解，产生一种远迁移，则采用项目式学习比较合适。

最后，数学跨学科项目式学习的核心特征往往是与“四基”“四能”紧密联系的。第一，从现实任务出发，运用并发现数学知识解决现实问题。第二，核心目标，即明确蕴含的数学的、跨学科的一些目标。这种明确的目标也便于后期项目式学习开展过程中评估的实施。第三，开放性问题，即由学生发现并提出隐含问题，进一步明确完成任务的目标和解决问题的途径。这是发展学生发现问题、提出问题能力的重要契机，也是数学跨学科学习采用项目式学习的一个重要原因。第四，真实实践，即学生通过实践参与明确问题探究的过程，并在这个过程中学习数学核心知识，应用相关数学思想和方法。在这个过程中，教师要提供必要的学习支架。我们在研究与实践的过程中，设计了一些项目的指导单、报告单、评估书等。第五，师生合作，即面对比较复杂的情境，教师和学生共同寻找解决问题的方法。第六，非常突出的一个特征，是成果的展示交流。在解决问题的过程中，会创造一些有形的成果，可以是手工的，也可以是报告等其他可以展示、交流的形式。

赵维坤：感谢孙老师！这个话题确实值得深入研究！还有谁做一些补充？

朱建明：其实，现在很多数学教师最担忧的就是跨学科学习，一是素材缺乏，二是教学失范。比如苏科版初中数学教材，我曾参与设计课题学习或者叫综合与实践的部分内容，但现在回头看那些东西，包括现在大量的数学活动和课题学习或者叫研究性学习，它们其实与跨学科学习还是有非常大的差距的。所以，现在要落实新课标提出的跨学科学习，任务艰巨，责任也重大。

钱德春：我插一句。比如，对平面镜成像这个物理现象的研究，数学中也有很多知识可以讲。

朱建明：这是一个可以让数学和物理结合的点。但是，这种跨学科学习既要有跨学科的内容，还要有数学教学的样态，就是要适合于数学教学。有的内容太复杂，即边缘性的知识太多，反而干扰了学生的数学学习。所以，这是非常困难的一件事情，希望能有一些非常好的案例，做示范引领。这可能需要大家群策群力，有更多深入的思考，而且一定要有创新的内容挖掘和教学设计——当然，孙学东老师在这个方面已经先走了一步。

赵维坤：朱主任强调了一个很重要的方面。今天我把孙学东老师放在最后一个发言，就是这个道理：跨学科学习是一个全新的话题，而且，按照10%的课时要求的话，我们至少要做出二十个案例，但是从新课标来看、从现状来看，肯定不够。另外，我看章飞教授对跨学科学习可能也有一些想法，要不就请章教授再说几句？

章飞：好的。我认为，我们需要通过综合与实践活动或者说项目式学习的形式进行跨学科学习，就像刚才孙老师所介绍的。实际上，目前各版本教材的修订，也在加大力量研发跨学科学习素材。但是，对于普通的一线教师而言，可能自主设计这类跨学科学习的教学还是很有难度的。因此，普通的一线教师可以多探索如何在日常教學中做一些跨学科的融合——其跨学科的复杂程度没有专门的跨学科学习那么大。这可能更好操作一些。

我再稍微谈一下刚才几位老师说的代数推理。我们可能有时要考虑一下，代数内容的推理和代数方式的推理是两个不同的概念。我之前写过一篇文章，说的是代数内容的推理，也就是代数学习中处处有推理。但是，代数方式的推理可能是不一样的。我想新课标讲代数推理，可能更多的是代数方式的推理。另外，我们在日常的代数教学中，不可能不教推理，但是我感觉，我们更多的是把代数推理作为学习手段，而没有把代数推理作为学习目标。如果把代数推理当成重要的目标，那么可能我们的日常教学方式就会发生变化。现在很多时候是，为了学习代数知识，自然用了推理的方式。当然，在这个过程中，学生的推理能力也提高了。但是，学生还是没有习惯用代数方式去推理，更多的时候感觉还是在运算，还是在按照步骤解决问题。

赵维坤：谢谢章教授！章教授总是在关键的地方给我们以启发！还有哪位老师想交流？

孙琪斌：我觉得，跨学科学习一类是课外活动中的，一类课堂教学中的。我举一个课堂教学中的例子，就是寻找数学模型的物理学科背景：已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时电流与电阻成反比例的函数关系，然后给出一个反比例函数的图像，第一小题求反比例函数的解析式，显然就是数学内容；第二小题求蓄电池的电压，第三小题根据电阻计算电流并填表，这是函数解析式的简单应用；第四小题是“如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不超过10A，那么该用电器的可变电阻应该控制在什么范围内”，这可以利用不等式的方法或函数的性质求解。我觉得这种微型的跨学科学习的例子用在课堂教学中就蛮好的。当然，从策略的角度看，我们还可以寻找数学模型的化学背景、数学模型的生物背景，等等。

石树伟：我插一句啊。刚才孙老师分享的这个案例，我觉得非常好。但是，现在教材的编排有一个问题，就是物理学科、化学学科和数学学科的进度不是太统一。所以，有时在跨学科问题的使用上比较为难。比如，刚才孙老师举的这个电学问题用不等式来解决，但是有关的物理知识在九年级上学期学习，而数学知识在七年级下学期学习，所以这个问题只能在物理教学或数学复习教学中使用。

钱德春：这确实是一个问题。比如，用平面几何知识证明凸透镜成像规律就因为进度不太匹配，而同时被物理教材（教学）和数学教材（教学）忽视。

朱建明：但我想说的是，新课标明确指出，跨学科学习是综合与实践领域主要的教学形式，必须保证数学课程10%课时的教学时间为跨学科学习。现在难就难在这个地方，各个教材编写组都很头疼。因为综合与实践是一个专门的学习领域，需要专门的时间进行跨学科学习，不是在其他学习领域做一点跨学科学习。

钱德春：这样看的话，还有一个问题：就是数学课程里有一个领域叫综合与实践，数学课程外好像还有一门课程叫综合与实践。

孙学东：确实，在《全日制义务教育课程方案（实验稿）》里，有一门课程叫综合与实践活动，主要包括四个领域：信息技术、研究性学习、社区服务与社会实践以及劳动与技术教育。在《义务教育课程方案（2022年版）》里，这门课程没有了，但是新增了两门课程——劳动和信息科技；同时又以另外一种方式呈现了综合与实践活动的内容与思想，就是每门课程都必须进行10%课时的跨学科学习。

这段时间的实践中，我有这样的感受：在所有学科中，数学是开展项目式学习最困难的学科之一。有一份文献提到，各个学科进行项目式学习所获得的效应值（就是产生的效果），最低的是数学学科，最高的是语言类、人文类的学科。这里的原因和学生的学习方式有关，也和数学学科的特征有关，主要是学生很难用数学的方法去表达和交流，导致项目式学习在数学学科很难开展。

赵维坤：好的。非常感谢！今天大家谈的话题还是很多的，收获也是很大的。现在时间比较晚了，“十人谈”活动就到此为止吧，非常感谢大家的参与！

（章飞，江苏第二师范学院课程与教学研究所，教授。朱建明，江蘇省南京市教学研究室，特级教师，正高级教师。钱德春，江苏省泰州市教育局教研室，正高级教师。潘小梅，浙江省宁波市鄞州区基础教育研究指导中心，特级教师，正高级教师。刘东升，江苏省南通市教育科学研究院。孙琪斌，上海市嘉定区教育学院，特级教师，正高级教师。石树伟，江苏省扬州市广陵区教师发展中心，特级教师，正高级教师。杨丽娟，江苏省昆山市葛江中学，特级教师，正高级教师。孙学东，江苏省无锡市教师发展学院。赵维坤，江苏省盐城市毓龙路实验学校，特级教师，正高级教师。）