李平香 黄勇 刘盈煌

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验简称“四基”;数学学科核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析[1].“四基”是“基础”，“基”是“开始”，事物发展的起点叫“基”，没有它就是“无源之水”;“基”是“根脚”，事物的本源叫“基”，没有它就是“无根之木”;“基”是“基调”，主要观点、基本思想就是“基调”，没有它就是无舵之舟.“四基”是“基本”，“基本”蕴含基本事实，凸显简洁之美，显示基本条件，折射事物本源，贯穿事情始终，孕育复合.某个事物能被冠以“基本”就意味着地位很重要，是属于树根和树干部分，具有生长与创新功能.所以，“四基”是“基础”+“基调”+“基本”.“体验”主要是指“学习体验”，学习体验可以理解为学生通过有目的有引导的学习实践活动来感受、体会、领悟周围的事物，以及由此获得相关知识、技能、情感与观念等内容的过程.在数学课堂中通过教师有意识地引导教学生“体验”，能够使得学生深化所掌握的有关表层知识，进而对蕴涵于其中的知识与技能、数学思想方法、情感与观念等内容有所感悟和体会[2].在当前素养导向的教育背景下，学界再次聚焦单元教学，通过单元整体教学设计落实核心素养的培养.在单元整体教学中，如何根据“四基”各自的特点，发挥“四基”各自的特长，引导学生自主体验与思想感悟，让素养根植于肥沃的“四基”土壤，根深叶茂、花开芬芳呢？

1 在数学基础知识的积累过程中，体验知识的生长，悟根源

中学数学基础知识是指代数、几何、统计与概率等模块中的概念、法则、性质、公式、定理、公理，以及由其内容所反映的数学思想和方法[3].章建跃博士指出：基础知识的教学，核心是使学生形成良好的数学认知结构.数学认知结构是指人的头脑中的知识结构，既包括学生头脑中全部的数学概念、公式、法则、定理、公理等，又包括这些知识的组织方式[4].“数学从根本上是玩概念的”，概念是数学大厦的基石，是数学思维的核心，概念教学是数学教学永恒的主题.概念教学要实现从表面到本质，从抽象到具体，从孤立到系统的跨越;概念课的主旋律是让学生参与概念本质特征的概括活动，引导学生顺应知识的内在逻辑的发展、顺应思维的心理逻辑的发展，自然地、水到渠成地实现概念从产生到形成，再到发展的跨越;概念是思维的细胞，在概念学习中养成的思维方式、方法迁移能力最强.因此，概念教学的意义不仅仅在于使学生掌握书本知识，更重要的是让学生体验数学家概括数学概念的心路历程，领悟数学家用数学的观点看待和认识世界的思想真谛，学会用概念思维，进而发展智力和培养能力[5].数学法则、性质、公式、定理、公理等教学统称为中学数学命题教学，王光明教授对数学命题教学提出了一系列策略，其中特别强调整体性教学策略要贯穿命题教学过程的始终，教学中要注意揭示数学知识之间的有机联系，加强命题知识的纵向和横向联系，注重数学命题知识结构的完整性，构建命题的知识体系，完善学生的数学认知结构[6];在命题教学的获得、证明、应用阶段，教师要通过适当的方式，启发学生直接或间接地感受、体验数学知识产生、发展、演变的动态过程，注意引导学生积极主动地进行思考，在教学过程中充分暴露数学家及数学教育家的思维活动、暴露数学教师自己的思维活动以及学生的思维活动，让学生看到思维的过程.因此，数学命题教学的意义不仅仅是数学概念的展开、联结、深化，同时也是数学问题教学的基础，是形成数学技能、培养数学能力的重要途径[7].魏书生先生指出：“知识是生长出来的，学生的学习过程是知识不断积累和能力不断提高的过程，新知识的学习是在原有基础上进行的老枝发新芽”.一些数学概念是在已有概念的基础上生长出来的，而数学命题是数学概念与概念的联合.因此，在数学基础知识的教学中，教师要始终注意引导学生体验新知与旧知的联系与发展，体验新知在旧知上的延伸与拓展、联合，在理解基础知识的过程中，体验知识的生长，感悟知识的根源.

2 在数学基本技能的演练过程中，体验技能的娴熟，悟方法

中学数学基本技能包括运算、推理、识图与作图、数据处理等.其中，“运算”与“推理”是数学最基本的两大技能，“运算”被称为数学的“童子功”，“推理”被称为数学的“命根子”.数学技能是是特殊的心智技能，我国心理学家冯忠良教授提出了心智技能的形成一般要经历原型定向阶段、操作阶段、内化阶段.在定向阶段，学生必须掌握与技能有关的数学概念、原理等陈述性知识，了解技能操作的依据，明确技能操作的方向，还要掌握法则、方法、步骤等程序性知识，了解心智动作的构成要素及动作次序，并在头脑中形成有关活动方式的定向表象.此时，学生如能在陈述性与程序性数学知识之间建立起联系，就可以在理解的基础上掌握此技能，相应的程序性知识便成为扩大了的知识结构的一部分，为后续学习产生积极影响.技能是在练习的基础上形成的，在原型操作阶段，学生先通过模仿练习，在感性水平上获得完备的动作映像和动觉体验;然后，通过变式练习，扩大活动对象的范围，使相应的活动方式具有概括性.在活动模式内化阶段，学生的技能操作离开了老师的示范和语言的直接指导，达到了熟练的程度[8].我国历来有“熟能生巧”“拳不离手”“曲不离口”的古训与习惯，但是数学技能不同于一般的工匠技能.所以，在进行技能训练时要注意训练的“量”与“度”，除了要注意“精讲精练”，还要注意技能训练的“质”.“质”应从训练后的熟练程度与能否类化，并为能力发展打下基础等两个方面来衡量.技能训练的方式可以通过非本质特征变化的“题组训练”，使学生熟悉、熟练新的心智操作方式，还可以通过“变式训练”在形式变异中把握不变的东西，将操作方式内化，以促进规则运用的纵向迁移，让学生在训练过程中掌握本质性的内容[8].技能的掌握虽然体现为顺利完成一定的数学解题活动，但技能训练又不能止步于此，而应注重在技能形成发展的整个过程促进技能的理解、内化、迁移，明确用什么、怎么用、何时用、依何用，体會如何才能用对、用好、用活，更要以技能为载体训练思维，揭示规律，挖掘其中蕴含的数学思想.也就是说，技能的训练不能停留在有形的纯技能的练习上，应注意解决问题的根本大法，即强调数学思想指导下的技能操作，并注意引导学生自己去体验、感悟、总结、概括技能运用的步骤、方法，在数学基本技能演练的过程中，体验技能的娴熟，悟方法.

3 在数学基本思想的形成过程中，体验思想的统领，悟本质

“数学基本知识”被称为数学的“骨骼”，“基本技能”被称为数学的“血肉”，而“数学思想”被称为数学的“灵魂”.“境由心造，相由心生”，“思”上“田”下“心”，“心之田”也;“想”上“相”下“心”，“心之相”也，所以思想如何，对事物的判断就如何.数学思想是对数学对象的本质认识，是认识具体数学概念、命题、规律、方法等的过程中提炼概括的基本观点和根本想法，对数学活动具有普遍的指导意义，是数学活动的指导思想;数学方法是指数学活动中所采用的途径、方式、手段、策略等，是思想转化而来的具体操作方法，可以提高效果和效率.数学思想和数学方法是紧密联系的.通常在强调数学活动的指导思想时称数学思想，在强调具体操作过程时则称数学方法[9].数学思想方法是具有普适性、迁移能力强的“根本大法”，所以，数学思想方法的教学无法立竿见影，需要持之以恒、潜移默化、润物细无声的慢慢渗透、提炼、概括.数学思想方法的渗透教学可分为：宏观层面的一般性数学思想教学、中观层面的稍显具体的数学思想提炼、微观层面的具体解题方法等[10].数学思想方法隐含在数学知识的形成过程中，而知识的发展是按逻辑顺序展开的.所以，数学思想方法的发展也有一定的顺序.因此，数学思想方法的教学要注意“有序性”;数学思想方法的形成，需要经历较长的过程，尤其是那些高度概括性的、统摄性强的并不能与知识、技能同步掌握，这时既要讲究概括水平由低到高的有序性，更要注意适当拉长“悟”的过程，“悟”需要一个循序渐进、逐步逼近精神实质的过程，要在领悟数学思想方法上下功夫.因此，数学思想方法的教学要善用变式策略，通过适当变化问题情境，把在解题思想方法上相似或相关的内容，用变式的形式串联起来，在条件变化、结论发散、适当引申、背景复杂化等变化中求不变，从变式中领悟真谛，从经验中掌握规律.“经验”是具体的，“具体”中蕴含着丰富的、多样的信息，要培养“从一般规律的高度考察具体事例的意识”，养成“透过现象看本质的习惯”，善于把隐藏在“表面现象”背后的更有“含金量”的数学思想方法知识挖掘出来，引导学生体会数学思想方法对于解题活动的指导引领意义.没有数学思想方法的渗透，就如同一棵枯萎的树，不能发芽、展叶、开花、更不能结果;没有数学思想方法的指引，就缺乏观察问题的角度和技能操作的手段，“发现规律”就成“撞大运”，可遇而不可求.巴尔扎克曾说过：“一个真正能思想的人才是一个力量无穷的人”.同样，有“数学思想”引领地数学才是有“灵魂的数学”“力量无穷的数学”.

4 在数学基本活动的粘合过程中，体验思维的展开，悟规律

张奠宙先生提出的数学“四基”关系是如图1的立方体，其中第一维度，是数学基础知识的积累过程;第二维度是数学基本技能的演练过程;第三维度是数学基本思想的形成过程;数学基本活动经验是充填在三维模块中间的粘合剂[11].中学数学基本活动经验主要是从特例入手.尝试归纳探索一般规律或结论[12]，通过经历观察联想、合情猜想、数学表达、验证证明等活动过程，体验和感悟归纳推理和演绎推理的完整思考过程，主要获得“思维经验”.其中，“观察联想”是积累获得数学基本活动经验的第一阶段，数学中的观察包括观察“现象”和观察“关系”.即从不同现象事物中察出“共性”“本质”，从相似现象中察出“区别”“联系”，在“异中察同”，在“同中察异”，既观察到“共性”“特性”“异性”，又观察到事物之间的“区别”“联系”，进而展开联想，对已有的事物认识进行重新组合、再加工.所以，教师要引导学生会用数学的眼光观察、发现问题;“合情猜想”是积累获得数学基本活动经验的第二阶段，“合情猜想”包含由特殊到一般的“归纳猜想”，以及由此及彼、触类旁通的“类比猜想”.波利亚将“联想”分成“启发性联想”和“支持性联想”，“启发性联想”由观察得到启发，通过特例揭示，利用归纳推理得到猜想，得到猜想后用支持性联想去证明或推翻，即用其他特例验证启发性联想得到的猜想.所以，教师要引导学生会用数学的思维思考、分析问题;“合情猜想”得到的结论还需要借助“数学表达”完成问题的提出，“数学表达”就是将“合情猜想”得到的结论用文字语言、符号语言、图形语言进行叙述.所以，教师要引导学生会用数学的语言表达、提出问题;通过“观察联想”“合情猜想”“数学表达”等归纳、类比推理发现的一般规律或结论，还需要验证证明，对结论进行简单说理或反例验证或演绎推理证明.所以，教师要引导学生会用数学的方式、方法、解决问题.数学基本活动经验是综合性的，是“过程”和“结果”的统一，强调个人的亲身经历，是弥补基础知识、基本技能不能涵盖之不足[12].因此，教学要引导学生在基本活动的粘合过程中体验思维展开的次序、动作，在思维的展开过程中，领悟思维的规律，积淀有意义的数学基本活动经验.

5 结语：“四基”沃土肥，“素养”花开旺

新版《课标》指出：核心素养是“四基”的继承和发展;“四基”是发展数学核心素养的有效载体，是数学核心素养培养的沃土[1].数学基础知识、基本技能主要体现为结果性的知识、客观性的事实，而数学基本思想、基本活动经验则是在学习过程中学生主体获得的主观性体验和感悟，它们的结合，使数学学习中的结果与过程、客观与主观、静态与动态、外在与内化有机地结合起来，相辅相成，相互为补[13].教学中，教师要善于根据“四基”特点，发挥“四基”特长，引导学生自主体验与思想感悟，让素养根植于肥沃的“四基”土壤.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部，普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018

[2]严虹，游泰杰，吕传汉，对数学教学中“教思考教体验教表达”的认识与思考[J].数学教育学报，2017，26 （5）：26-30

[3]章建跃，从知识分类看数学“双基”的内涵[J].数学通报，2003 （8）：1-2

[4]章建跃，数学基础知识及其教学的再认识（续）[J].中學数学教学参考，2008（5下半月）：1-2，5

[5]章建跃，数学概念教学中培养创造能力[J].中小学数学（高中版），2009（11）：封底

[6]王光明，戴勇，数学命题的整体性教学策略[J].中学数学教学参考，2007 （12）：14-16

[7]王光明，戴勇，再谈数学命题的整体性教学策略[J].中学数学教学参考，2008（5上半月）：4-7

[8]季素月，数学技能教与学的思考[J].数学教育学报，2003，12（2）：27-30

[9]章建跃，数学思想方法的力量[J].中小学数学（高中版），2013 （10）：封底

[10]宁连华，涂荣豹，中国数学基础教育的继承与发展[J].数学教育学报，2012，12 （6）：6-9

[11]张奠宙，郑振初，“四基”数学模块教学的构建——兼谈数学思想方法的教学[J].数学教育学报，2011，10 （5）：16-19

[12]郭玉峰，史宁中，“数学基本活动经验”研究：内涵与维度划分[J].教育学报，2012，8 （5）：23-27

[13]黄翔等，从“四基”“四能”到“三会”——一条培养学生数学核心素养的主线[J].数学教育学报，2019，28 （5）：37-40（本文系2020年度福建省中青年教师教育教育科研项目（基础教育研究专项）“数学学科核心素养导向下的‘单元一课时’教学研究”（项目编号：JSZJ20130）;福建省“十三五”规划2020年度课题“大概念统领下的高中数学单元整体教学实践策略研究”（立项批准号：FJJKXB20-786）研究成果）