【摘要】小学数学起点型核心知识（以下简称“起点型核心知识”）是小学数学课程中处于某个知识领域、知识序列、知识段落或知识单元起点位置的核心知识。它们通常具有丰富、独特的育人价值。基于数学课程标准，整体把握数学课程内容和学情，利用起点型核心知识在核心素养上的连续性、知识本质上的同一性、认知图式上的迁移性实施长程教学，有助于促进数学核心素养培育在课堂教学中有效落地。

【关键词】起点型核心知识；长程教学；知识本质；认知图式；数学核心素养；学科育人

【中图分类号】G623.5【文献标志码】A【文章编号】1005-6009（2022）33-0007-04

【作者简介】魏光明，南京市金陵中学实验小学（南京，210019）党支部书记，高级教师，江苏省数学特级教师，江苏省“333高层次人才培养工程”中青年学术技术带头人，江苏第二师范学院、南京晓庄学院客座教授。

*本文系全国教育科学“十三五”规划2020年度教育部重点课题“小学数学核心知识建构的教学研究”（DHA200370）阶段性研究成果。

站在立德树人的高度来看小学数学教育，我们应该坚持儿童立场，深度挖掘并充分发挥数学学科知识的育人价值，让学生通过数学知识的学习获得数学核心素养的提升，实现智力水平、学习情感和价值观念等协同发展。在全面落实“双减”政策的大背景下，小学数学教学要实现减负提质，促进每一个学生可持续、高质量地发展，科学遴选并长程教学数学核心知识，特别是起点型核心知识，就具有重要的现实意义，有利于促进数学核心素养在课堂教学中有效落地，真正实现学科育人的长远目标。

数学教学要有全局观、整体观，提倡瞻前顾后，实施长程教学。要对起点型核心知识实施长程教学，首先需弄清楚以下三个基本问题。

其一，什么是起点型核心知识？我们知道，数学知识之间普遍存在着逻辑联系，借助这种逻辑联系，可以实现从知识点到知识链再到知识体系的不断生长和扩展。在纵横联结的知识体系中，有一些适用范围广、自我生长和迁移能力强、不可或缺、处于基础和中心地位、具有关键性、结构性、统摄性和生发性的知识，这些知识就是数学核心知识。由于知识不断生长，知识体系不断进阶，必然会存在一些相对意义上的起点型知识。其中，处于某个知识领域、知识序列、知识段落或知识单元起点位置、具有“种子”作用的核心知识，就可以稱为起点型核心知识。起点型核心知识具有根基性、原点性和生长性，是众多知识中的干细胞，是知识生长的起点，是搭建知识框架的承重柱，是支撑知识体系的根基。起点型核心知识一般指向数学基本思想、基本方法、基本概念、基本原理、基本关系等内容初次集中教学的节点。起点型核心知识既可以按照其具有的特点进行判断，也可以采用抽象度分析法进行遴选。

其二，什么是长程教学？众所周知，教学是教师把知识、技能、方法等传授给学生的过程，这一过程是缓慢的、不断进阶的，反映在学生身上，就是持续建构的过程。教学时，我们不能孤立地看问题，将眼光局限于某一课时范围内的特定知识，人为割裂所教知识与现实生活、其他知识或问题解决之间的联系，而应立足知识整体，联系现实生活，设计并实施长程教学。本文所指的长程教学，是根据知识之间的逻辑联系以及不同阶段学生的年龄特点、认知规律和思维水平，着眼一个长线的教学过程，可以是一个单元或几个单元，可以是一个领域或几个领域，也可以是一个学段或几个学段，对特定教学内容进行进阶性的系统设计，再根据阶段教学要求来分步实施。

其三，什么是起点型核心知识的长程教学？从一定意义上说，就是要求教师能够依据数学课程标准，在整体把握数学课程内容和学情的基础上，梳理所要教学的起点型核心知识的来龙去脉，在纵向上弄清这一知识在不同单元、不同年级、不同学段的呈现形态，理顺过去、现在与将来的关系；在横向上弄清这一知识与其他知识的内在关联，打通不同知识之间的“隔离墙”，引导学生整体感知、整体建构、迁移应用，逐步从单点走向结构，提高知识的活力。

每一门学科都具有独特的育人价值，整合所有学科的育人功能，就能有效落实立德树人的根本任务。就小学数学学科而言，实现学科育人目标应该坚持以数学核心素养为导向，培育数学核心素养应该以数学核心知识为载体，教学数学核心知识应该先从起点型核心知识着手。简言之，我们应该以培育数学核心素养为目标，从起点型核心知识开始实施长程教学。

一方面，起点型核心知识的内涵丰富，在它的表层数学符号概念背后，大多蕴含着漫长的诞生历史、复杂的产生背景、多样的数学模型、基本的认知图式、常规的思维方式、一般的学习路径和重要的思想方法。这些在教材中没有用图片或文字明确呈现出来的隐性成分，往往比显性的概念符号具有更为重要的育人价值，有利于学生产生浓厚的数学学习兴趣，感受广泛的应用价值，培养积极的数学情感，确立正确的数学观念，发展理性的数学思维。

另一方面，起点型核心知识自身具有的根基意义、生发价值和迁移功能，以及与其他相关知识在内容形式上的相似性、数学本质上的同一性、内在逻辑上的连贯性、认知图式上的迁移性、学习路径上的进阶性、思想方法上的一致性、核心素养上的连续性，决定了它们在学生进行知识学习和知识体系建构过程中发挥着极其重要的作用。

从上述意义上说，我们应该将起点型核心知识置于整体知识体系之中，按照知识发生、发展的脉络进行整体审视、解读和分析，在此基础上，匹配学生现有的认知水平，遵循数学学科的学习规律，科学拟订细化的学习目标，确定进阶的学习路径，设计长线的学习活动，切实解决当下数学教学存在的各说各理、前后割裂等问题。具体教学时，我们应该重视引导学生积极参与、深度卷入长线的学习活动，经历创生学习、探究学习和迁移学习的过程，不断积累发现、建构、理解和应用起点型核心知识的经验，学会长时间思考和结构化思考，学会独立解决问题和提出新问题，逐步发展和完善数学核心素养，落实数学学科育人目标。

对起点型核心知识实施长程教学，还需明晰起点型核心知识在整个知识体系至少是单元知识体系中处于什么位置，它从哪里来，又将往哪里去，它与相关联的知识在数学本质、认知图式、思维方式、思想方法、核心素养等方面存在怎样的一致性，学生在学习时一般沿着怎样的学习路径，教师应该选择怎样的教学策略来支持学生建构新知、迁移学习和有联系地思考。限于文章篇幅，这里仅从以下三个方面谈谈起点型核心知识长程教学的常规路径。

1.着眼育人，体现核心素养的连续性

数学核心素养体现数学的本质，是数学学科育人目标的具体化。数学核心素养是学生在学习数学和应用数学的过程中逐渐形成的，是一种相对稳定的心智结构和思维方式，主要包括会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界等三个方面。起点型核心知识的长程教学，应将与所教具体知识相关的数学核心素养贯穿始终，并且不断进阶。

比如，“5以内数的认识”是一个起点型核心知识。现在几乎所有幼儿园的小朋友都能流利地唱数10以内的数，那么，进入一年级以后，学生再次学习“5以内数的认识”的价值究竟在哪里呢？这就需要我们跳出知识本位，坚持素养导向，为培育一年级学生的数学核心素养开个好头，定个方向。以“1”的认识为例进行说明，首先，呈现1个苹果、1个梨、1个桃，让学生依次说一说这是什么，再引导学生比较它们的个数，并鼓励学生用“○”“□”“△”等图形来表示；接着，引导学生比较几种图形的数量，引出自然数“1”。这里从实物或实物图到图形再到数“1”，目的在于引导学生学习两级数学抽象，学习用数学的眼光观察现实世界：第一级抽象是去除所有实物的物理背景，只保留实物的数量属性，即都是“1个”，实现从感性具体到感性一般；第二级抽象是去除具体的量，只保留抽象的数的形式，揭示第一个数概念“1”，实现从感性一般到理性具体。

这样大费周折地教学，旨在引导学生参与数学抽象的过程，学习、感悟和了解数学抽象的一般方法，以便于在后续学习中发挥积极的作用。从5以内数的认识开始，到10以内数的认识、20以内数的认识、100以内数的认识、万以内数的认识……再到分数的认识、小数的认识，然后到用字母表示数，在这样一个长线的过程中，学生就会慢慢形成并逐渐增强符号意识。沿着这样的路径，到初中再学习式的认识等知识时，学生就会逐步形成并发展抽象意识。到了高中阶段，结合相关知识的学习，学生就会逐步形成数学抽象能力。从符号意识到抽象意识再到抽象能力，反映了长程教学中学生数学抽象素养不断进阶的层级。当然，不同类型的知识对应的数学核心素养有所侧重，教学时需要科学地分析，有针对性地培育。

2.整体把握，凸显知识本质的同一性

数学是一门研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的学科，数学知识的本质是对现实世界的数量关系、空间形式、变化规律、结构模式等的抽象描述，可以用于解释现实世界的现象，解决现实世界的问题。起点型核心知识的长程教学应该深度挖掘、完整理解其本质，利用和保持其与相关知识在知识本质上的一致性，用同一个“理”贯穿一个知识单元、一个知识序列、一个知识领域，甚至更大的范围。

比如，“可能性”是一个起点型核心知识。教材中的摸球游戲，带给学生的更多是觉得好玩，并印证他们对简单事件发生的可能性的直觉判断。但是，如果从知识体系和集合理论的角度来看，“可能性”背后隐藏着一个数学大概念——“概率”，其本质是对简单随机事件发生可能性大小的度量。就小学阶段学习“可能性”首先遇到的古典概型而言，简单随机事件的可能结果是有限的，且每个结果发生的可能性是相等的。弄清楚这些，与“可能性”相关的内容教学就会更加连贯。我们可以这样教学“可能性”：首先给2个红球编号，引导学生说出并记录所有可能摸出的结果，即1号红球、2号红球；接着将2个红球放入袋中，让学生随机摸球，摸后放回打乱，记录多次摸球结果；再引导学生观察、比较，得出“摸出的要么是1号红球，要么是2号红球”的结论，从而认识“摸出的一定是红球”“摸出的不可能是黄球”这两种确定性事件；然后，将2个红球替换为1个红球和1个黄球，重复上述操作，引导学生认识“摸出的可能是红球”这一不确定性事件。

这样教学，旨在引导学生感悟和理解运用确定性的数学语言来表达不确定性的随机现象，学会有根有据地讨论随机事件，为后续包括中学阶段学习概率知识预留宽敞的通道。就拿列出所有可能的结果这一点来说，将来就可以据此进行比较，讨论简单随机事件发生的可能性（概率）的大小；对接集合理论下样本点和样本空间等概念；运用随机事件发生的频率来估计概率和推断样本点；计算简单随机事件发生的概率（包括最简单的用分数或百分数来表示）；理解必然事件发生的概率为1，也就是100%，不可能事件发生的概率为0，随机事件发生的概率在0～1或0～100%之间。事实上，所有的起点型核心知识教学都应该立足长程视野，借助知识本质的同一性打通知识教学的“堵点”，让教师教得顺畅，学生学得通透，体会到许多知识讲的是一回事，用的是一个理。

3.发展思维，利用认知图式的迁移性

皮亚杰认为：发展是个体在与环境不断地相互作用中的一种建构过程，图式是被构造出来的，是人们为了应付某一特定情境而产生的认知结构，是人们表征、组织和解释经验的一些思维和动作模式或心理结构。认知图式具有很强的吸附、解释和迁移功能。起点型核心知识的长程教学，应该借助学生在起点型核心知识学习时形成的基本认知图式，通过同化和顺应，经由自身调整或自身调节，持续建构和理解新知识，扩充和完善认知结构，识别和解决相似或相近的实际问题。

比如，“认识厘米”是一个起点型核心知识。学生在学习“认识厘米”时，一般会经历这样的过程：一是观察两条长短明显不一的线段，知道线段是有长有短的；二是采用重叠等方法直接比较两条线段的长短，并提出“两条线段的长度究竟相差多少”的问题；三是分别用非标准单位去测量线段的长度，发现测量得出的结果不同，产生统一测量单位的需求，感受统一测量单位的必要性；四是由数学史引出统一的长度单位，揭示学生正式认识的第一个通用标准长度单位“厘米”，通过反复操作和比较，建立“1厘米”的表象；五是用“1厘米”连续测量线段的长度，初步感悟和认识测量的本质是单位的重复和累加；六是将多个标准单位“1厘米”依次连接，创造出测量工具直尺，知道直尺与单位的关系，并用直尺正确测量线段的长度；七是从不同刻度出发，用直尺灵活测量指定线段的长度。在这一过程中，学生不仅认识了第一个长度单位“厘米”，建立了1厘米和几厘米的表象，理解了长度测量的本质，更重要的是，伴随着这一过程，学生同步建构了关于测量的一般认知图式。

这样教学，旨在引导学生着重学习“认识厘米”的方法、程序和结构，并能够将获得的学习经验迁移到其他测量知识的学习中去，逐渐形成相对稳定、前后关联、具有生长活力的认知图式。整体审视“测量”板块，无论是长度还是面积、体积，或者是角的测量，本质上都是对与其相对应的某种测量单位的重复与累加，不同的只是研究对象从一维空间变成二维空间再变成三维空间。清晰地建构“认识厘米”获得的认知图式之后，借助认知迁移，可以更加有效、快速地学习其他有关测量的知识。

综上所述，教师要以起点型核心知识的发生、发展为生长线索，匹配学生的认知能力和思维水平，科学设计学习路径，实施长程教学，从而引导和支持学生深度卷入学习，学会数学思考，提高数学关键能力，形成数学核心素养，最终实现人的心智、情感、信念等的完整发展。

[1]魏光明，王俊亮，刘正松，等.小学数学核心知识教学的理论与实践[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2020.

[2]魏光明.长程设计：关注阶段性和一致性[J].江苏教育，2014（17）：57-58.

[3]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022.

[4]皮亚杰.结构主义[M].倪连生，王琳，译.北京：商务印书馆，2020.