[摘 要] 数学教学要培养学生的证据意识，提升学生的论证能力。充实的经历能让学生在寻获证据的过程中提升学习参与度，有深度的研讨能让学生在分享证据的过程中提升学习清晰度，深刻的反思能让学生在修正、充实、完善证据的过程中提升知识融合度，收集证据、分享证据、反思证据能让证据成为学生数学学习的有力抓手。总体而言，证据学习能让学生的数学学习深度发生。

[关键词] 小学数学;证据学习;深度发生

所谓“证据”，是指一种事物对于另一种事物的证明关系。小学数学教学要培养学生的证据意识，发展学生的论证能力，提升学生的论证品质。在实施证据学习的过程中要注重证据的获取、证据的应用、证据的分享及证据的反思。通过证据学习，能让学生的数学学习能力获得较大的提升。

一、经历：在寻获证据的过程中提升学习参与度

学生的数学学习首先是一种经历，经历是一个积累活动经验、寻获证据的过程。在证据学习的过程中，学生能深度思考和探究。如果学生在数学学习中只是蜻蜓点水、浮光掠影地一带而过，没有获得数学学习的感受和体验，那么知识和技能就不能被有效地内化。试想，如果没有深入地参与学习，学生思考问题如何能做到全面、深刻？因此，教师要想办法提升学生学习数学的参与度，进而让学生沉浸于学习中。在数学教学中，教师要引导学生主动地提出问题、分析问题和解决问题，从而有效地寻获证据。总之，经历学习过程是达成数学学习目标的先决条件。

寻获证据是需要时间和精力的。没有思维含量的、被动参与的、肤浅的，甚至虚假的数学学习对学生是没有帮助的，只有深入数学学习中，学生对证据才能获得真正的认知。

比如，在教学“解决问题的策略——列举”时，笔者设置了前置性的学习任务，赋予学生充分的独立思考空间。结果发现，无论何种思维水平的学生都能从题目中找寻到关键性的证据，即“22根1米长的木条围成1个长方形花圃”。与此同时，笔者也发现不同思维水平的学生对于这样一个关键性证据的理解却存在着较大的差异：有的学生思维比较模糊，有的学生思维清晰却不简约，有的学生思维简约却无序，有的学生思维清晰、简约且有序。据此，笔者在教学中重点呈现数学思考、探究的过程，引导学生从长方形花圃示意图入手，让他们感知22根1米长的木条拼在一起的长度就是长方形的周长。通过这样的学习经历，学生会获得更深刻的探究体验。

与传统的“经验主导型”教学不同，基于证据的数学教学不再一味地依凭经验，而是更加强调证据的重要性。在数学教学中，教师要引导学生养成“证据意识”——阅读要收集证据，思考要依凭证据，表达要出示证据。证据学习既能让学生的数学思维呈现一种原质状态，又能将教师的数学思维敞亮于学生眼前。

二、研讨：在分享证据中的过程提升学习清晰度

著名教育家斯托利亚尔指出，数学教学是数学活动（思维过程）的教学。思维活动不仅包括学生个体的思维活动，还包括学生群体的思维活动。学生个体的思维活動是一种思考与探究，学生群体的思维活动是一种交流与研讨。学生个体的学习活动需要寻获证据，学生群体的学习活动需要分享证据。通过证据的分享，学生可以调整证据、修正证据、完善证据。而研讨交流能让学生在分享证据的过程中提升数学学习的清晰度。

证据不仅让学生的个体学习留下了痕迹，还让学生群体的学习留下了痕迹。在数学教学中，教师可以先引导学生通过“写一写”“画一画”“说一说”“做一做”等方式呈现学习过程，然后通过倾听、观察、收集学生的证据，对学生的学情作出较为科学的研判。

比如，在教学“简单的统计”这部分内容时，为了让学生经历收集数据、整理数据的过程，笔者播放了一段在校门外拍摄的视频录像，让学生统计家长接送孩子的交通工具使用情况及各种交通工具在两分钟内的流量数据。结果发现学生统计方法的不同之处：有的学生单枪匹马，看录像看得头晕目眩，因而统计数据杂乱无章，出现了许多错误;有的学生分工明确，统计的数据非常精准。

基于此，笔者引导学生对搜集证据的方法进行深度交流：“为什么有的同学忙得不亦乐乎，却没有收集到正确的数据？为什么有的同学轻轻松松就能收集到准确的数据？通过对搜集证据过程的研讨，学生认识到了小组分工的重要性。在交流的过程中，学生充分表达了想法。通过倾听、观察，学生对收集数据的方法有了新的认识。证据研讨促进了学生对证据的理解。

数学教学就是要引导学生学会用证据说话、用证据学习。证据的形式是多样的，有真实的、有力的、关键的证据，也有虚假的、无力的、苍白的证据;有直接证据，也有间接证据。教师要引导学生研讨证据、分享证据，让学生感受、体验到证据的重要性及搜集证据所用方法的重要性。通过证据研讨，让学生进行有层次的交流，以此促进每个学生的发展。

三、反思：在修正、充实、完善证据的过程中提升知识融合度

众所周知，数学教学真正的目的除要让学生“学会”以外，更为重要的是让学生“会学”。有人说，没有反思就没有真正的数学学习。在数学教学中，证据不一定是科学的、有效的。证据是否合理、是否科学、是否有效，需要教师引导学生在积极反思、评价中作出判断。只有不断地反思证据，学生才能修正证据、补充证据、完善证据。

反思不是对学习的简单回顾或者重复，反思是要求学生回溯在证据推理过程中所运用的知识、方法、思路、策略是否科学、合理。

比如，在教学“平行四边形的面积”时，有学生猜想平行四边形的面积等于“底乘以高”，也有学生猜想平行四边形的面积等于“底乘以斜边”。笔者追问学生，产生这一猜想的证据是什么。有学生说，因为平行四边形可以推拉成长方形，长方形的长相当于平行四边形的底，长方形的宽相当于平行四边形的斜边，而长方形的面积是“长乘以宽”，所以平行四边形的面积等于“底乘斜边”;还有的学生认为，因为平行四边形可以剪拼成长方形，长方形的长相当于平行四边形的底，长方形的宽相当于平行四边形的高，所以平行四边形的面积等于“底乘以高”。显然，学生所谓的“证据”夹杂着他们的模糊概念、错误推测。为了提高学生的认知，笔者引导学生比较证据、反思证据、研讨证据。通过对证据的深度交流，学生认识到：将平行四边形转化成长方形不能采用推拉的方法，而要采用剪拼的方法。因为在推拉平行四边形的过程中面积发生了变化，而在剪拼平行四边形的过程中面积没有发生变化。反思证据让学生对知识点的认知从模糊走向清晰、从肤浅走向深刻、从零碎走向整体。

反思证据要求教师持续地跟踪学生的学习情况。只有持续跟踪才能把握学生的论证过程，从而让学生的论证不偏离方向。反思证据、丰富证据、完善证据能让学生把握证据之间的链接点，帮助他们进行有效的证据推理。基于证据的学习是一种真实的学习，只有真实的学习才能实现学生核心素养的提升。

[作者简介]张琴（1976—    ），女，江苏泰兴人，泰兴市黄桥小学教育集团十桥校区，一级教师，研究方向为小学数学教学。