郭凤

【摘要】动态几何是指用运动的观点研究几何图形的位置、大小的相互关系.用动的观点看几何定理，常可把几个定理归为一类.几何图形按一定条件运动，有的几何量随着运动的变化而有规律变化，这就出现了轨迹和极值问题，而有的量却始终保持不变，这就是定值问题.解答动态几何定值问题的方法一般有两种：第一种是先探求定值.再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.第二种是采用综合法，直接写出证明.

【关键词】动点;定值

例1如图1，等腰直角△ABC中，∠A=90°，D点在BC上，作DF⊥BC交AC和BA的延长线于E、F两点，若DE+DF=12，则边BC的长是.

解法1过点A作AP⊥BC于P.

因为AP∥DF，

所以DEAP=CDCP，

DFAP=BDBP=BP+PDBP，

于是DEAP+DFAP=CDCP+BP+PDCP=2，

所以DE+DF=2AP，

即DE+DF=BC=12.

解法2因为△ABC是等腰直角三角形，

FD⊥BC，

所以△BDF和△DCE也是等腰直角三角形，

于是BD=DF，DE=CD，

所以DE+DF=CD+BD=BC=12.

分析用特位定值法.

（1）把點D放在BC中点上.这时过点D的垂线与AB，AC的交点都是点A，即点E、F两点重合于A点，得出DE+DF=2DA=BC，从而可确定定值是底边上的中线的2倍.因此原题可转化求证

DA+DB=2AD=BC（AD为底边上的中线）.

（2）把点D放在点C上.这时DE=0，DF=2AP=BC（三角形中位线性质），结论与（1）相同.

还可以把定值定为BCtanB.即求证

DE+DF=BCtanB.

推广在△ABC中，D、E是BC边上的两点，且AD∥EG，EG交AC于F，交BA的延长线于G.若AD是△ABC的中线.则EF+EG=2AD.

例2如图2，AD是等腰△ABC的高线，P是BD上的动点，过P作BC的垂线，与AB和CA的延长线分别相交于F、E.已知AB=AC=5，BC=6.

（1）设BP=x，PE=y，请写出y与x的函数关系式;

（2）当四边形ADPE的面积与△ABC的面积相等时，求BP的长.

解（1）在△ABC中，

因为AB=AC=5，AD⊥BC，BC=6，

所以BD=CD=3，AD=4，

PC=BC-BP=6-x，且0≤x<3.

又PE⊥BC，

则PE∥AD，

所以△CAD∽△CEP，

所以CDPC=ADPE，

即36-x=4PE，

所以y=PE=43（6-x）=8-43x（0≤x<3）.

（2）由（1），得PE=8-43x（0≤x<3），

梯形ADPE的面积为

S=12（AD+PE）·PD

=124+8-43x（3-x）

=23（9-x）（3-x）（0≤x<3），

而△ABC的面积为

12BC·AD=12×6×4=12，

因此，x是方程23（9-x）（3-x）=12的解，

整理得x2-12x+9=0，

配方得（x-6）2=27（注意到0≤x<3），

解得x=6-33，

即BP=6-33.

例3如图3，平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，BC边上的高AM=4，E为 BC边上的一个动点（不与B、C重合）.过E作直线AB的垂线，垂足为F.FE与DC的延长线交于点G，连接DE，DF.当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由.

证明△BEF与△CEG的周长之和为定值.

理由1过点C作FG的平行线交直线AB于H，

因为GF⊥AB，

所以四边形FHCG为矩形.

所以FH=CG，FG=CH，

因此，△BEF与△CEG的周长之和等于

BC+CH+BH.

由BC=10，AB=5，AM=4，

可得CH=8，BH=6，

所以BC+CH+BH=24.

理由2由AB=5，AM=4，可知

在Rt△BEF与Rt△GCE中，有

EF=45BE，BF=35BE，

GE=45CE，GC=35CE，

所以△BEF的周长是125BE，

△ECG的周长是125CE.

又BE+CE=10，

因此△BEF与△CEG的周长之和是24.