李雅

[摘  要] 为了更好地培养和提升学生的核心素养，教师不仅要弄清核心素养的内涵，而且要理清数学知识中蕴含哪些核心素养，只有这样才能设计出有利于培养学生核心素养的教学策略，以此深化学生理解，促进学生全面发展. 文章以“定值问题”为例，在问题的驱动下，引导学生通过类比推理抽象出一般结论，同时在运用结论和构造图形的基础上培养学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理等核心素养，以此促进学生学习能力、思维能力、数学应用能力等综合能力全面提升.

[关键词] 核心素养;问题;综合能力

在高中数学教学中，大多数教师依然侧重结论教学，满足“奇特”的性质推广，忽视过程的探究，从而使得学生对过程所蕴含的思想方法的认识不够充分，不仅影响到了数学应用，而且不利于学生数学抽象、逻辑推理等核心素养的培养. “定值问题”不仅揭示了圆锥曲线的几何本质，而且体现了动中有静的辩证思想;它不仅是高考的热门考点，也是培养学生探究能力和思维品质的重要素材. 若在教学中能够合理开发利用，将有助于提升学生的核心素养. 笔者以“定值问题”为例，以“问题”为驱动力，带领学生共同探究蕴含其中的有趣结论，以此提升学生的数学应用能力，培养学生的核心素养.

[?]借助类比推理，诱发学生深度思考

利用类比推理有助于打破思维定式带来的负面影响，有助于发现学生的数学思维，有助于引发学生深度思考，其是培养学生逻辑推理能力的重要举措之一. 教学中，将相似或相关的内容合理进行类比，引导学生经历由特殊到特殊或由特殊到一般的过程，有助于学生更好地把握知识之间的区别与联系，从而加深学生对知识之间内在联系的理解，有助于学生认知体系的建构与完善. 教学中切勿直接将结论抛给学生就急于应用，那样只能将学生培养成解题的“工具”，不利于提升学生的数学素养.

案例1 探究“椭圆斜率之积为定值”.

师：如图1所示，已知AB为圆O的直径，点P为圆O上的任意一点（异于点A，B），连接PA，PB，试问k·k是否为定值？为什么？

圆是学生较为熟悉的内容，以圆为问题的切入点更易于引起学生共鸣. 问题给出后，学生很快就根据“直径所对的圆周角为直角”这一性质得出k·k= -1，即k·k为定值，定值是一个常数.

师：如果将“圆”改为“椭圆”，你能给出完整的问题表述并加以证明吗？（学生思考片刻后都跃跃欲试地想要表达自己的想法）

生2：如图2所示，已知椭圆+=1（a>b>0），点A，B分别为椭圆的左、右两个顶点，点P为椭圆上任意一点（异于点A，B），连接PA，PB，试问k·k是否为定值？为什么？

师：表述得非常准确，那么该问题如何求解呢？（与圆相比，椭圆略显复杂，教师预留一定的时间让学生独立思考）

生3：设点P的坐标为（x，y），则+=1，再利用斜率公式化简消元易得k·k=-.

师：你们是否得出了与生3同样的结论呢？（学生纷纷点头）

师：很好！看来大家都已经灵活掌握了证明的方法，不过点A，B一定要是椭圆的左、右两个顶点吗？如果是上、下两个顶点是否能够得出同样的结论呢？（问题给出后，学生开始积极地进行验证）

生4：经过验证发现，当A，B为椭圆的上、下两个顶点时，该结论依然成立，即k·k=-.

师：很好，如果将该问题继续拓展，转化为一般性问题，你认为点A，B还可以如何变化呢？

生5：点A，B为中心弦AB的两个顶点.

师：分析得非常好，探究过程在这里就不再重复了，请同学们课下进行验证. 这样我们从特殊出发，通过推理验证发现了问题的一般规律，这是推理公式、证明结论常用的研究方法. 通过探究容易发现，虽然点P为动点，但k·k却是定值，在变化中蕴含着不变的规律，这正是学习数学的有趣之处.

师：如果继续探究这个问题，你认为接下来该如何进行扩展呢？

生6：接下来我们可以将椭圆换成双曲线.

师：很好，对于这一类圆锥曲线有很多相似之处，限于课堂时间有效，解决这个问题请同学们课下完成.

这样从学生熟悉的“圆”入手，通过类比联想使问题由特殊向一般转化，发现一类问题的性质，有效地培养了学生的逻辑思维能力. 教学中，在学生基本明晰证明方案的基础上，教师并没有急于给出结论，而是预留一定的时间让学生通过动手實践亲身推理验证，以此借助类比联想让学生再“跳一跳”，从而深化学生的思维，引导学生总结出了一类问题的变化规律，进而培养学生的核心素养.

[?]运用结论，培养学生数形结合意识

数形结合思想是重要的数学思想方法之一，若“数”与“形”能够巧妙地结合在一起，不仅可以提高学生的解题效率，而且可以优化解题过程，尤其解答几何问题时，数形结合思想显得尤为重要. 解析几何中的基本思想就是用代数方法来解决几何图形问题的，这样对几何图形的认识与理解自然就是解决代数问题的关键.

案例2 如图3所示，已知点A，B分别为椭圆+=1的左、右两个顶点，点P为椭圆上任意一点（异于A，B两点），直线AP，BP分别交直线l：x=4于M，N两点，求线段MN的最小值.

师：观察图3，结合案例1，你能够得到什么？

生7：k·k=-=-.

师：很好，该图形符合案例1中的探究条件，因此结合基本图形可以得到对应的代数式. 本题要求线段MN的最小值，则先要求M，N的坐标，那么求解时如何选择参数能够更方便、更快捷呢？

生8：可以将直线PA或PB的斜率作为参数.

师：说一说你的想法.

生8：若设PA的斜率为k，由题意可知点A（-2，0），则直线PA的方程为y=k（x+2），令x=4，可求得点M的坐标;又k·k=-=-，故直线PB的斜率为-，同理可以求出点N的坐标. 这样求线段MN的长时可以根据两点的距离公式得到关于k的表达式，问题自然就迎刃而解了.

师：很好，思路清晰，运算过程简洁，参数选择适当，很好地利用了案例1的结论，可见生8对基本图形已经掌握得非常娴熟了，值得表扬.

生9：我刚刚解题没有选择斜率作为参数，选择的是点P的坐标. 以点P的坐标为参数，根据两点式容易得到直线PA，PB的方程，接下来与生8的解答过程基本相同.

师：很好，大家可以顺着两位同学的思路“解一解”，比较一下优劣.

生10：将斜率作为参数的运算更简洁，求解更方便.

师：确实，因为生8在解题时很好地应用了图形的特性，从而使解题更加方便. 在研究解析几何问题时，如果能将“数”与“形”紧密地联系在一起，往往可以得到事半功倍的效果.

解析几何问题是被公认的难点问题，除“难”在思路外，运算也相对复杂，需要学生具备一定的运算技能和运算技巧. 解决解析几何问题时不仅要考虑思维难度，还要考虑运算量. 解题时要引导学生提升思维的高度，降低运算的难度，以此优化运算程序，提高解题效率.

[?]探究问题本质，激发学生创造力

若想提高学生解决问题的能力，单凭简单地强化解题方法、解题技巧是远远不够的，更多的要引导学生理解并掌握问题的本质，提高思维的敏锐性，激发学生的创造性.

案例3 如图4所示，已知点M

，-1为椭圆+=1内一点，M为弦AB的中点，求弦AB所在的直线方程.

师：对比案例1，观察图4，图4中是否有满足条件的基本图形呢？

生齐声答：没有.

师：那么是否能构造出以上的基本图形呢？

生11：如图5所示，连接AO并延长AO交椭圆于点C，连接BC，则k·k= -.

师：很好，基本图形构造好了，如果能够求出k的斜率，结合点M的坐标，即可求得直线AB的方程，那么如何求k呢？

生12：这个很简单，如图4所示，连接OM，根据已知可得OM为△ABC的中位线，则OM∥BC. 又k=-2，于是有k=，进而求得直线AB的方程为2x-8y-9=0.

师：很好，这样我们通过构造基本图形顺利地建立起了等量关系，使问题迎刃而解，可见同学们对基本图形已经了如指掌了. 其实在很多题目中，基本图形并不会直接给出来的，往往需要后面不断地尝试、试探，因此解题时要勇于尝试，发挥动手实践的优势，以此挖掘出问题的本质，提升解题效率.

纵观历年高考，圆锥曲线问题一直是高考的热门考点，尤其对于“定值问题”更是考核的重中之重，要想让学生将此类问题学懂学会，靠单一的“题海”强化往往是不够的. 教学中教师要循序渐进地通过引导让学生认清问题的本质，认清何为偶然现象，何为必然结果，如何将特殊推广至一般，从而提升学生的逻辑推理和逻辑演绎能力，提高学生的数学素养.

总之，教师要认识到培养和提升学生的核心素养并不是一蹴而就的事情，因此教学中需要教师有足够的耐心，不仅要将知识理解到位，而且要理解学生、理解教學，只有这样才能在教学中给出科学的指导，在讲授知识的同时，才能让学生掌握蕴含其中的数学思想方法，以此提高学生的核心素养. 值得注意的是，教师在教学过程中要充分发挥引领作用，在问题的驱动下让学生学会思考、学会提问、学会学习，强化学生的问题意识，促进学生解决问题的能力全面提升.