陈连生

摘要：几何变换思想是初中数学中重要的数学思想，其所体现的是数学运动变化以及在运动变化过程中仍然存有不变量的数学理念。在初中数学教学中，教师可以利用裁剪活动、多媒体教学工具等手段，增强学生对于几何变换过程的动态直观体验，奠定几何变换思想基础，同时引入一题多解的教学手段，帮助学生形成运用几何变换思想的解题意识，提高学生的数学思想水平。

关键词：初中数学;几何变换思想;数学思想;解题意识

伴随着课程改革的不断深入，义务教育阶段数学学科教学开始构建“四基”教学体制和理念，数学思想教育成为义务阶段数学教育的核心。相较传统教学模式，新课程背景下数学思想的引入，不仅帮助学生树立了正确的数学观念，而且有助于学生对数学知识理论体系的融会贯通，进而培养学生的数学精神和数学应用能力。在初中阶段的数学教学中，学生对于几何证明知识学习起来比较困难，其主要原因在于学生缺少几何变换的思想认知，缺少逻辑性的思维构建。因此，在开展教学的过程中，教师应当注重几何变换思想的融入和渗透，通过创新教学手段，为学生打开认识数学规律、理解数学思想的思维大门。

1   初中阶段学生接受的几何变换思想

1.1新课程标准对于数学思想教学的新要求

早在2001年，在教育部颁布实施的义务教育课程标准中，便将几何变换作为义务教育阶段数学学科教学体系当中的重要内容，学生通过初中阶段的数学学习，需要能够掌握合同变换、相似变换等不同变换形式，理解数学几何当中的变换关系。2011年，对义务教育数学课程标准进行了内容革新，新课程标准从教育理念视角出发，强调数学教学当中几何变换的数理特点应当以外显性的知识形态呈现在学生面前，同时数学教学还需要将其背后隐含的思想方法渗透到学生的学习和实际应用当中。初中阶段的几何变换对于学生来说既是一种认识各种几何图形的思维工具，同时也是数学当中运动变化思想的重要体现。教师需要认识到几何变换本身所具有的思想特性，进而通过组织开展渗透几何变换思想的教学，帮助学生构建完整的数学思想体系。

1.2初中数学教学中学生接触到的初等几何变换知识

在初中阶段的数学教学中，学生主要接触几何学中的初等几何变换知识。根据类型特征进行分类，初中的几何变换主要分为平移变换、反射变换、旋转变换以及位似变换等。其中，平移变换主要是指在图形F当中的所有点，沿同一方向移动，经过相同的移动长度后，得到图形F′，整个变换过程为平移变换。在变换特性方面，平移变换主要由向量决定，向量的实际方向以及向量的模最终决定了平移的数量。

反射变换主要是指在平面内有两个图形F和F′，两个图形呈轴对称关系。其中F与F′以直线L作为对称轴，此时该图形变换被称为反射变换，其中直线L则是变换图形的反射轴。两个图形彼此转向相反。在图形变换当中，两个图形自身全等，图形上对应点之间的连线能够被反射轴垂直平分。

旋转变换是指图形F上的每个点，沿着点O做顺时针或逆时针的圆周运动，通过旋转α角度后，得到新的图形F′，其中图形F通过旋转的方式得到圖形F′的过程为旋转变换，O是旋转变换的旋转中心，α是旋转角。旋转变换中，旋转前后两个图形为全等关系，旋转前后的对应点与旋转中心连线所形成的角与旋转角相等。

位似变换是指在平面上有图形F和F′，这两个图形在点与点之间存在一一对应关系，满足任意连接对应顶点时连接直线都经过同一点O，若A与A′为任意对应点，则有OA′=|k|OA。

1.3初中学生需要形成的几何变换思想

几何变换当中所呈现的思想源于几何变换过程中所表现出的运动规律。在几何学中，几何变换主要通过平移、旋转、轴对称、相似变换等方式完成一种或多种叠加，但是其中图形之间仍然保持一些量不变的特性，在运动过程中仍然存在一些没有变化的量，对于变化中不变量的正确认知的思想，便是学生需要掌握的几何变换思想。在初中阶段的数学教学中，教师需要认识到几何变换思想对于学生形成全面认知数学思维的重要作用，通过巧妙的数学教学渗透，使学生正确认识到几何变换思想的价值。同时，引导学生不断尝试运用并理解几何变换思想在圆的认知、辅助线应用等方面的重要作用，奠定学生后续学习矩阵变换知识的思想基础。

2   初中数学现阶段教学中几何变换思想教学的困局

2.1教师在教学中对几何变换思想不够重视

几何变换思想是新课程改革背景下初中数学教学进行教学创新的重要方向，是渗透数学思想、培养学生数学思维的关键环节。但是，在调查分析中可以发现，大部分教师对于几何变换思想的教学认知不足，教师普遍将几何变换作为一种工具概念，学生只需要在学习过程中了解几何变换的形态即可。在这种教学方式之下，教师很难主动进行几何变换的思想拓展，无法将几何变换思想与其他知识进行系统融合来帮助学生更加深层次地理解几何规律。就目前的教学情况来看，初中阶段学生面临着严峻的升学压力，课时较短、教学内容繁重，教师多采用传统快节奏的教学方式，更追求课堂中的内容容量，以保证课程教学进度。但是这种教学方式忽视了学生对于知识的学习和掌握，没有给学生预留充足的思考和反思时间，学生在数学学习中能够学习的思想十分有限，也很难从整体视角出发，将零散的数学知识整合起来，实现知识的触类旁通。教师在教学中大多是要求学生对已经学习过的几何模型进行机械式记忆。通过机械记忆，学生虽然能够对几何模型进行描述，但是对于几何模型的数理特点以及不同几何模型之间存在的联系，学生却知之甚少。学生的思想观念没有得到培养塑造，只是在不断的“题海战术”中进行重复训练，逐渐消磨他们的学习兴趣，导致学生很难投入热情，无法自主反思，也不能产生思维探索和创新能力。而这也恰恰是当前几何变换思想在初中教学渗透过程中面临的困局之一。

2.2学生缺少主动运用几何变换思想的意识

在对学生的数学思想以及数学思想的实践情况进行观察后发现，初中阶段学生的数学思想运用较少，面对问题时，很难利用数学思想找寻到巧妙解决问题的办法。其中，几何变换思想在几何证明题中有着十分广泛的应用，但是学生在做几何证明题时却很少利用几何变换的方式获取未知信息，更多情况下，他们还是会采用相似、全等等更加熟悉的证明方法进行论证。也有部分学生在面对可以利用辅助线解决的问题时束手无策，对于题目当中给出的各项信息有着怎样的逻辑关联无法有清晰的认知。造成这种情况的主要原因在于学生长久以来都处于被动接受知识的状态，对于数学学科学习也缺乏积极主动性，只是为了应付考试，学生很少主动运用数学思维，没有形成探究意识和创新意识，进而缺少思维的灵活性，无法做到举一反三。一些能够利用旋转、平移等几何变换解决的问题，学生却并未意识到几何变换在其中的作用，最终无法将几何变换融入其中。就目前的教学情况来看，传统教学模式在一定程度上提高了教学效率，保证了教学进度和教学节奏，对于提高学生的数学水平具有显著作用。但是从长远发展角度来看，这种教学方式对于学生的思维成长和思想成熟来说是有害的，学生无法理解数学当中运动变化的规律特征，无法形成对于几何学习的正确认知，很难在后续学习中投入学习热情，甚至在接触到矩阵与变换的学习时，由于数学思想基础薄弱，会产生无法理解的思维问题。

3   初中数学教学中渗透几何变换思想的教学策略

3.1利用手工剪切方式增强学生对于几何变换的直观印象

传统课堂教学中所开展的几何变换教学，主要是由教师通过展示图形形态和描述图形性质来实现，这种教学方式对于学生直观感受几何变换的过程，形成几何变换思想，能够起到的帮助作用并不大。教师应当转变教学思路，突出几何变换当中能够呈现直观动态和不变量的形象特点，以此培养学生直观感受加理性思考相结合的思维能力，帮助学生树立几何变换思想。教学方面，教师可以结合一些日常的手工活动，通过设计折纸、裁剪等手工艺品制作的动手活动，帮助学生直观感受几何变换的实际过程。例如，教师可以将裁剪活动引入三角形中位线以及图形运动中，通过教学指导的方式，引导学生思考怎样将一张四边形的纸片裁剪成平行四边形。学生在裁剪纸片之前，首先需要掌握四边形本身的性质，通过裁剪纸片的四个角得到一个平行四边形。接下来，教师继续追问，裁剪下来的四个角能够组成什么图形。此时学生根据教师的指引，再次进行图形的拼合，随后学生发现，裁剪下的四个角仍然能够拼合成一个完整的平行四边形。通过这种亲身体验的方式，学生逐渐体会到图形的变换特点，了解到四边形裁剪后得到的两个平行四边形四个角之和仍然为360°的不变量特性。

3.2利用多媒体作图教学展示几何变换的规律

在课堂教学中，教师还需要认识到初中阶段的几种几何变换类型之间存在的紧密关系，通过强化联系的方式培养学生的整体性思维。例如，多次平移与一次平移之间存在的关系、经过两次轴对称之后图形发生了怎样的变化等。为了能够清晰展示几何变换当中图形的变化特点，教师可以通过多媒体作图演示的方式，展示几种类型的变换规律和内在关系。例如，教师可以在轴对称的教学中将平行对称轴和相交对称轴两种对称轴形式下出现的轴对称变化差别演示出来。学生通过观看教师的演示后可以发现，平行对称轴当中图形经过了两次轴对称变换，获取到了位置不同的全等图形。两个图形之间的变化与一次平移的结果相同。而在相交的對称轴当中，图形经过两次轴对称平移后得到了全等图形，两个图形之间所呈现的变换关系与旋转变换的结果相同，其中旋转角即为两个对称轴的相交角。通过直观的演示，教师帮助学生建立了更加全面的轴对称联系观念。

3.3采用一题多解教学手段强化学生对于几何变换思想的运用

几何变换思想的教学主要目的是帮助学生了解更加广阔的数学认知视域，引导学生更加全面深刻地理解数学问题。因此，在数学教学中，教师要通过实践教学方式培养学生应用几何变换思想解决数学问题的意识，提高他们对于几何变换思想的认知水平。

例如，在三角形证明题目中，可以采用一题多解的教学方式。题目：在△ABC中，有点D，满足DA=3，DB=4，DC=5，求△ABC的边长。在解题过程中，教师可以引导学生进行思考，尝试从旋转变换以及轴对称变换两个角度出发，通过绘制辅助线对已知条件进行整理，最终完成解答。在旋转变换解题方法中，学生首先将△ABD中A作为旋转中心，对其进行逆时针旋转60°，得到△ACE，连接DE，并延长，得到线段BD，DB与AE相交于点F。根据旋转变换的性质，此时∠DAE为60°，因此△ABD≌△ACE。由此可得到AE=AD=3，CE=BD=4，因此△ADE为等边三角形，DE=3，∠AED为60°，因此△DCE中DE=3，CE=4，CD=5。根据勾股定理的逆定理得，△CDE为直角三角形，∠DEC为90°，而∠AEC为∠AED与∠DEC之和为150°，因此∠ADB为150°，∠ADF为30°，∠DAE+∠ADF为90°，DF⊥AE。根据勾股定理AB2=BF2+AF2，可得到AB=。

此外，教师可以引导学生在旋转变换之外，再次找寻其他解题方法，如通过轴对称的方式制作图形辅助线进行解题，最终会得到相同的答案。利用一题多解的教学方式，学生逐渐形成了利用几何变换思想解决问题的意识，提高了学生在数学应用当中的思维能力。

在初中数学教学中，教师需要充分认识到数学思想在学生全面发展中的意义和价值。其中几何变换思想是此前学科教学中的薄弱环节，学生在实际数学思维运用和数学问题解答过程中很难将几何变换思想运用其中，存在思维机械、灵活性不足等问题。教师应当在课堂中提高学生的数学感知体验，帮助学生理解几何变换中重要的不变量思想特点，认识几何图形在发生变换过程中的规律及其所具有的重要意义。学生只有建立几何变换思想，才能在数学学习中得心应手，触类旁通，打下坚实的数学基础。

参考文献：

[1]王文玉.初中数学函数教学中渗透模型思想的研究：以“一次函数”为例[J].中学数学，2022（4）：9-10.

[2]李秀文.初中数学教学中思想与方法的渗透 ：评《数学教育研究方法论》[J].中国教育学刊，2021（12）：142.

[3]杨国俊，丘文斯.在初中数学“图形与几何”的教学中培养学生公理化思想：以“全等三角形的判定（第一课时）”为例[J].数学学习与研究，2021（34）：44-46.