卢德均

［摘  要］ 數学教学是思维活动的教学，为了全面培养和提升学生的思维能力，教师在日常教学中应多带领学生参与知识产生、形成的过程，从而让学生在参与的过程中有所感悟、有所积累、有所提升. 文章在探究运算法则时，以发展学生、提升学生思维能力为导向，引导学生通过观察、猜想、归纳、应用等学习过程体验运算法则形成的全过程，从而有效地提升教学效能.

［关键词］ 思维能力；学习过程；教学效能

学习过程是知识的自主建构过程，在此过程中教师应以学生已有知识和已有经验为出发点，借助最近发展区的认知引导学生经历知识生成、发展的过程，从而通过适时地引导帮助学生完成知识的系统化建构. 不过，在现实教学中，尤其在运算法则、概念、定理等内容的教学中，大多数教师常感觉这部分内容就是客观事实，没有经历探究过程的必要，因此对运算法则、概念、定理等内容的教学常常以“灌输和背诵”为主，很少关注其生成、发展的过程. 久而久之，容易造成概念混淆，从而影响到解题效果. 笔者教学“单项式的乘法”时，以学生认知为出发点，借助情境创设、追问等教学活动引导学生经历知识形成的过程，获得了学生和同行的认可，现将教学过程分享给各位同仁，供参考.

教学实录

1. 明晰研究问题

师：大家想一下，我们学校的操场是什么形状的？

生齐声答：长方形.

师：如果想要估算一下操场的面积，你们有什么好办法呢？（学生开始积极交流）

生1：可以用步量法.

师：很好！有一次我用这种方法测量了一下，从南往北大约走了1200步，从西往东大约走了800步，假设我的步长为a（单位：m），你能用含字母a的代数式来表示操场的面积吗？

生2：若以南北方向为长，东西方向为宽，则长为1200a（单位：m），宽为800a（单位：m），面积为1200a·800a（单位：m2）.

师：这个就是最终答案了吗？是否需要计算一下呢？

生齐声答：要.

师：这个能计算吗？（学生沉思）

生3：可以计算，因为含字母a的代数式表示的是数，也就是说数的运算规律在代数式的运算中也是适用的，而数能计算，所以代数式也能计算.

师：很好，这就是我们今天要研究的主题——“单项式的乘法”.

设计意图 借助生活情境先是引导学生用字母表示数，继而引发学生对运算进行思考，从而揭示课程主题.

2. 探索单项式与单项式相乘

师：我们根据经验知道单项式可以计算，但是该如何计算呢？

师：首先，我们从数中寻找一点灵感，请计算（3×102）×（2×103）（结果用科学计数法表示）. （笔者预留2分钟让学生独立思考）

生4：结果为6×105.

师：你能写出具体的运算过程吗？（学生板书演示）

生4：（3×102）×（2×103）=（3×2）（102×103）=6×105.

师：你运算的依据是什么？

生4：乘法交换律和乘法结合律.

师：很好，大家认可生4的方法吗？（学生点头表示赞成）

师：现在思考一下，如何计算1200a·800a呢？

生5：1200a·800a=（1200×800）（a·a）=960000a2.

师：看来大家不仅熟练地掌握了乘法交换律和乘法结合律，而且已经将数的运算迁移到了单项式的运算中，非常棒. 接下来，请大家计算（-2abc）·

ab2

. （学生一时不知该如何入手）

师：是否可以转化为同底数幂的乘法运算呢？（教师及时启发）

生6：（-2abc）·

ab2

=

（-2）×

·（a·a）·（b·b2）·c=-a2b3c.

师：好的，谁能总结一下运算过程呢？

生7：先将各单项式的系数相乘，接下来再进行同底数幂相乘.

生8：其余字母（如c）保持不变. （学生补充道）

师：接下来，请大家思考一下，下列各题该如何计算呢？

（1）3b3·b2；

（2）（-6ay3）·（-a2）；

（3）（-3x）3·（5x2y）；

（4）（2×102）×（6×104）×105（结果用科学计数法表示）.

笔者预留3分钟让学生独立完成运算，接下来引导学生进行交流展示.

师：谁来说一说问题（1）是如何求解的.

生9：3b3·b2=

3×

（b3·b2）=b5.

师：说一说你的计算依据是什么.

生9：单项式与单项式相乘法则.

师：问题（2）谁来说一说.

生10：问题（2）与刚刚探究的问题类似，结果为6a3y3.

师：好的，下一个.

生11：（-3x）3·（5x2y）=（-27x3）·（5x2y）=［（-27）×5］（x3·x2）·y=-135x5y.

师：在单项式与单项式相乘之前先是进行了乘方运算，将（-3x）3转化为了 -27x3，这样就将原问题转化为我们熟悉的问题了，非常好.

师：最后一个问题又是如何求解的呢？

生12：（2×102）×（6×104）×105=（2×6）×（102×104）×105=12×106×105=12×1011.

师：你是分步应用单项式与单项式相乘法则进行运算的，那这样求解可以吗，（2×102）×（6×104）×105=（2×6×1）×（102×104×105）=12×1011.

生齐声答：可以.

师：观察以上运算过程，你有什么收获？

生13：由此可以看出，以上法则也可以应用于多个单项式相乘.

设计意图 先是借助学生熟悉的“数与数相乘”过渡到“单项式与单项式相乘”，借助问题（4）引发学生对多个单项式相乘的思考，这样从学生的认知出发，通过循序渐进的引导，让学生的思维盘旋上升，为接下来探究“单项式与多项式相乘”的运算法则奠定了坚实的基础.

3. 探究单项式与多项式相乘

师：刚刚我们已经熟练掌握了“单项式与单项式相乘”的运算法则，现在我们一起思考一下这个问题（用多媒体展示题目）：

问题：如图1所示，请求出阴影部分的面积（用两种方法解答）. （问题给出后，学生很快有了答案）

生14：方法1：a（b-2m）；方法2：ab-2am.

师：很好，方法1直接利用公式得到了阴影部分的面积；方法2通过大小面积相减得到了阴影部分的面积. 由此你能写出一个等式吗？

生15：两种解法所求的都是阴影部分的面积，根据面积相等可得a（b-2m）=ab-2am.

师：这个等式如何用运算律来解释呢？

生16：可以用乘法分配律来解释.

师：很好. 由此可知，当我们在计算单项式与多项式相乘时可以应用乘法分配律，这样可以将问题转化为单项式与单项式相乘. 想一想，计算-3b3·

5b2-b

.

生17：-3b3·

5b2-b

=（-3b3）·（5b2）+（-3b3）·

-b

=-15b5+b4.

設计意图 根据上面的经验，笔者接下来带领学生总结归纳出了单项式与多项式相乘的法则. 整个过程中，笔者充分调动了学生的积极性，引导学生积极建构并及时进行总结归纳，有效地锻炼了学生数学应用能力，有助于学生数学素养的提升.

4. 借助练习实现知识内化

虽然学生全程参与了运算法则的生成过程，但是在应用过程中势必还会遇到多种问题，因此借助练习实现知识的内化自然成了数学教学的重要一环. 基于此，经历了运算法则的探究后，笔者给出了如下题目让学生进行强化训练：

（1）2a2b·（3ab-4a3b）；

（2）

x-xy

·（-9y）.

设计意图 从结果反馈来看，大多数学生，都能顺利完成运算，对于个别存在问题的学生，笔者给予了单独的指导，继而让全员得到了有效的发展和提升. 最后笔者又给出了一个思考题：计算

x-xy

·（-9y+x2）. 这样让有余力的学生思考多项式与多项式相乘的过程，既为下节课的探究埋下了伏笔，又让学优生能够“跳一跳”，从而有效提升其学习能力.

教学反思

本节课为整式运算的继续，虽然较之前所学难度有所提升，但是中学生已具备了一定的运算能力，因此在本节课的探究中，笔者“以生为主”，从实际问题出发，诱发学生对单项式的乘法进行思考，以此激发其思维活力. 在探索乘法法则的过程中，笔者从学生熟悉的内容出发，通过循序渐进地引导，帮助学生总结归纳出了运算法则，接下来又借助一些具体练习进行了有效的强化训练，进而完成知识的内化. 以上研究方法符合学生的认知规律，具有普适性. 同时，探究过程中蕴含着多种思想方法，如化归思想、抽象思想、演绎思想等，这对发展学生的学习能力具有重要的作用.

虽然在本课的教学过程中没有新颖别致的问题，也没有跌宕起伏的教学情境，亦没有争论、交流的热闹场面，但是通过“低起点、小坡度”地引导，不仅让学生熟练地掌握了运算法则，而且使其可以灵活应用运算法则解决实际问题. 教学中笔者也充分发挥了学生的主导作用，每次提出问题后都会预留一定的时间让学生进行思考、实践、交流，从而通过及时引导、追问、评价将问题引向深处，进而让学生对运算法则的认识达到一定的“深度”，让学生可以对新知形成更加完整的、全面的认识，从而完成知识的系统化建构，提升教学有效性.

总之，在实际教学中，教师应善于应用一些启发性问题来引导学生经历一些实质性的思维活动，从而在帮助学生完成知识的自主建构的同时，促进学生全面、和谐发展.