陈玉宝

［摘  要］ 数学课堂教学以培养学生适应社会的必备品格和关键能力为根本追求，以落实学科核心素养为根本目标. 在教学中，教师要引导学生建构知识体系，以变式练习、典型试题拓展、问题意识培养、提炼总结等方式提升学生的思维品质，激发学生的深度思维，让学生感受数学思想，使核心素养落地生根.

［关键词］ 核心素养；深度思维；教学

数学核心素养的本质是能够运用数学思想解决问题的能力和品质，提升核心素养建立在学生对数学思想的理解基础上. 因此，在教学中教师要引导学生积极地参与学习活动，深入分析、思考，激发深度思维，从而掌握数学思想和方法，提升数学核心素养.

何谓深度思维与核心素养

深度思维是指高水平的思维活动，表现为深度探寻数学规律，领悟数学思想的高水平认知活动，与浅层次和低水平的思维相对. 深度思维的开展有助于学生获得新知识与新技能. 在布鲁姆的认知分类中，机械的记忆、简单的理解和低效的应用属于低阶思维活动，而对问题进行分析、评价和创造的活动称为高阶思维活动（布鲁姆教育目标分类表——认知维度如表1所示）.

数学核心素养是以数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想等为核心的数学品质和能力，是个人适应社会发展所必备的数学素养. 数学核心素养的本质可以概括为三个核心要素，即抽象能力、推理能力和建构模型的能力. 在数学学习过程中，发展这三种能力是提升学生数学核心素养的关键. 学习数学知识时，学生一般先从自我生活经验出发形成感性认识，进而从具体的现象中抽象出数学知识，转化为理性认识. 从感性认识到理性认识的过程是学生思维不断深入、进而提升的过程. 经历了知识的模仿、理解之后，还需要进一步建构数学模型进行实际运用，让学生在深入思考的过程中会积累活动经验，领悟数学思想，并通过深度思维活动将数学思想、数学知识与数学技能转化为个人数学素养.

激发深度思维的教学策略

深度思维活动的展开建立在教学活动中，要求学生能够从多个角度参与问题的分析和讨论，感受知识发生和发展的过程，并在教师的引导下探索数学规律，建构知识体系，掌握数学思想和数学方法.

1. 立足整体思维，建构知识体系

数学知识前后关联，具有内在逻辑联系，因此在数学教学中，教师应建构整体思维，注重部分与整体的关系，完善内在结构，形成知识体系，并引导学生形成整体性的眼光，从而在解决问题时灵活运用思维，从不同的角度和层次分析与思考，提升思维能力.

案例1“同底数幂的乘法”导入.

（1）我们已经学习了哪些数的运算？你还记得我们在学习时采用了哪些方法吗？

（2）我们学过哪些整式运算？类比数的运算，你能想到我们还会学习整式的哪些运算吗？

（3）探究：請从下面4个整式中任选两个构造乘法运算. 你写出了哪些算式？你能把你所写的算式分类吗？你认为整式的乘法可以分成哪几种类型？

a2，a3，a3+ab，a+ab.

（4）在单项式与单项式的乘法中，最基本的运算有哪些？

根据学生的回答，教师进行总结并板书：单项式乘法中最基本的运算是am·an，（am）n，（ab）n，这就是今天我们要学习的同底数幂的乘法.

设计意图本例的导入中，教师先从整体性的角度出发，引导学生回顾整式的运算，使学生感受代数的学习方式，再运用类比方法对整式运算进行整体的结构分类，接着以具体的列式活动使学生感受同底数幂学习的意义和价值. 这样的导入方式使学生在学习新知前已经经历了一场深刻的思维活动，体会到了发现问题和分析问题的过程，并在潜移默化中渗透了数学研究方法，为新知的学习奠定了思维基础.

2. 开展问题变式拓展，激发学生深入思考

教材中的例题以及课后习题都是教材编写者精心挑选出的与本课或者本单元知识点相关的典型问题，但是这些典型问题一般仅仅与课时内容相关，指向性较为单一，对学生思维的训练力度不够. 因此，在教学中教师可以针对典型试题进行变式和拓展，引导学生从不同的角度和多种层次去认识和理解知识，从而更加全面地检验知识的掌握情况，提升学生的自主学习能力和探究能力，发展学生思维的灵活性.

案例2教材例题（七年级下册苏科版）：如图1所示，在△ABC中，∠A，∠1和∠2的度数分别是62°，20°和35°，∠BDC的度数是多少？

变式1在△ABC中，∠A=62°，∠ABC的平分线和∠ACB的平分线相交于点D，∠BDC的度数是多少？

变式2在△ABC中，∠A=n°，∠ABC的平分线和∠ACB的平分线相交于点D，请用含n的代数式表示∠BDC的度数.

变式3在△ABC中，∠A=n°，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，请用含n的代数式表示∠BDC的度数.

变式4在△ABC中，∠A=n°，∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，请用含n的代数式表示∠BDC的度数.

设计意图典型试题的变式训练是通过题目条件的改变或者结论的改变把对知识的考查变得更加深刻. 在变式中，教师也可以将问题从特殊形式变为一般形式，增强问题的挑战性. 只有通过深度思考和探究，学生才能获得解题思路. 变式训练需建立在学生已经掌握了一般解题方法的基础上，教师要引导学生通过多角度和多方面的思考，更加灵活地运用知识解决问题，从中体悟数学思想和方法，增强学习获得感，激发学习热情.

3. 加强一题多解训练，促进学生思维生长

数学试题的求解思路是灵活多样的，局限于一种思路会造成学生思维定式，导致学生的知识具有局限性. 因此，在教学中，教师要开展一题多解训练，发展学生思维的灵活性，进一步完善学生的知识结构，开阔学生的视野，发展学生的创造力，提升学生的智力水平.

案例3如图2所示，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标是（6，8），连接AC. x轴上存在点D，使得△ACD是等腰三角形，请求出点D的坐标.

这道题需分三种情况讨论：当CD=CA时，点D的坐标为（-6，0）；当AD=CA时，点D的坐标为（-4，0）或（16，0）；当AD=CD时，可以通过下面三种思路来求解.

第一种思路：先求出直线AC的解析式，利用两条直线相互垂直的代数意义，求得线段AC垂直平分线的解析式，接着得到它与x轴的交点，即点D的坐标.

第二种思路：设DO=x，由勾股定理得到DC2=DO2+CO2=DA2，接下来可以通过列方程来求解.

第三种思路：如图2所示，过点D作DE⊥AC，垂足为E，根据△DEA与△COA相似，通过列比例式计算DA的长度，从而确定点D的坐标.

设计意图一题多解训练能使学生经历思考、讨论、交流等过程，发展创新思维能力，能让学生从多种解题思路中探寻最佳的解题方法和独特的解题思路，有助于学生深刻地理解问题的本质，发展思维的灵活性. 进行一题多解训练时，需要激发学生的创新意识，所以教师要创设平等交流的氛围，鼓励学生积极地进行交流和讨论，并对学生的想法进行及时的反馈，从而激发学生的探究欲望，增强学生的学习信心，并在一题多解的思维训练下，不断提升学生的核心素养.

4. 培养发现问题的能力，发展创新意识

发现问题和提出问题体现了思维发散和想象的能力，培养学生善于发现问题的意识，有利于提升学生的创造能力. 问题是知识的起源，是激发学生探究的起点，学生只有学会发现问题，才能思考解决问题的方法，才能刺激自己的思维不断生长. 在课堂教学中培养学生发现问题的意识，可以在教学前的预习中，也可以在教学过程中，还可以在课堂的习题反馈中. 不管在哪个环节，教师都应精心设置好问题，通过好问题来发展学生的数学思维，培养学生的问题意识.

案例4含30°角的直角三角形的性质.

师：如图3所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，AB=8，求△ABC的面积.

生1：老师刚刚讲了要把30°角和直角进行“双剑合璧”，这个三角形已经满足了一个条件，于是可以过点B作BD⊥AC，垂足为D. 根据我们刚刚学习的定理，30°角所对的直角边是斜边的一半，可以得到BD的长度为AB的一半，所以BD=4. 所以△ABC的面积为16.

师：很好. 假如我们把原题中的30°角变成150°，那么结果发生了什么变化？请画图求解.

生2：由150°角我联想到了它的邻补角为30°，于是同样地过点B作AC的垂线交CA的延长线于点D（如图4所示）. 在直角三角形ABD中，∠BAD为30°，根据30°角所对的直角边是斜边的一半，可以得到DB的长为AB的一半，即BD的长为4，因此三角形ABC的面积为16.

生3：现在我有一个疑问，如果两个等腰三角形的腰长相等，并且顶角互补，那么这两个三角形的面积一定相等吗？

生3根据刚才两位学生的解答提出了這样的问题，虽然这不是这节课的重点，但是反映了学生在积极思考. 而且这个问题具有探讨价值，因此教师应该对这一内容进行即时的反馈和研究.

师：这个问题问得非常好，我们不妨将它作为我们班的数学猜想. 这个问题甚至可以一般化，不要求是等腰三角形. 如图5所示，已知两个三角形两条边的长均为a和b，假设这两个三角形中这两条边的夹角互补，那么这两个三角形的面积一定相等. 那如何证明这个猜想呢？

生4：我通过实验的方法进行证明. 这两个三角形中长为a，b的边夹角互补，这说明这两个夹角的和为180°，于是我把它们拼在一起，根据三角形的中线等分面积，可以知道这两个三角形的面积一定相等.

师：这个方法非常巧妙，利用互补条件，通过“180°”这个题眼证明了两个三角形的面积相等. 那还有其他证明方法吗？

生5：刚才生4利用“180°”角拼成了一条直线，我想到可以利用同旁内角互补的方法来解决. 如图6所示，因为∠BCD和∠CBA互补，因此AB与CD平行，于是可以证明△ABO和△CDO全等，由此△ABO的面积与△CDO的面积相等. 它们的面积分别加上△BOC的面积，就可以得到△ABC的面积和△BCD的面积相等了.

生6：我还有其他方法……

学生自己发现的问题激发了他们的探究热情，他们在讨论中提出了许多独特的创意和想法.

设计意图本例在习题讲解过程中探讨了学生提出的新问题，激发了学生学习的积极性，使学生真正成为课堂活动的参与者，有效地锻炼了学生的思维.

爱因斯坦强调提出问题比解决问题更加重要，在发现问题的过程中思维能够不断地深入，从而激发出新的火花. 因此，在课堂教学中教师要精心设计问题，为学生学会发现问题做好示范，提供有效的指导，引导学生体会教师研究数学问题的方法，为培养学生具备独立的思考精神奠定基础. 教师还要指导学生找准提出问题的时机和方法，在新、旧知识的联结处，在学习出现困惑时，在研究由特殊问题向一般问题转化时，及时引导学生发现问题，提升学生发现问题的能力. 同时，教师还要创设平等和谐的课堂氛围，鼓励学生勇敢质疑，使学生在相互沟通中开阔视野，增长知识.

5. 关注课堂小结，提升思维品质

课堂小结是对一节课的总结和提炼，是教学过程中不可缺少的重要一环，也是帮助学生对本课知识进行梳理和总结的手段. 有效的课堂小结不仅具有实用性，还具有艺术性，是对课堂教学成果的巩固和提升，也是对学生知识体系的进一步完善，有助于学生掌握数学思想和方法，能提升学生对数学的认识.

案例5图形与变换——平移、旋转、翻折.

本课涉及的图形变换和运动知识较为零散，需要学生具备一定的空间想象能力，建构起知识体系，才能在具体的运用中游刃有余. 因此，笔者在一节公开课中采用了如图7所示的框架总结方式.

设计意图本课的课堂小结采用了框架结构的形式，将具体的知识点、解题模型与解题方法联系在一起，使学生对图形变换形成了较为系统的知识结构，提升了学生对数学知识本质的感悟，为学生后续解决问题提供了明确的思路，使课堂教学思想得到了升华.

综上所述，在数学课堂教学中，学生只要真正参与学习活动，积极思考、分析和探究，就能发展深度思维，提升解决问题的能力. 在发展学生深度思维的基础上，教师还要强化学生对数学思想和数学本质的理解，从而有效地落实数学核心素养.