陈秀海

［摘  要］ 教材是教学的重要资源，是教师进行教学的平台之一，善用教材可以更好地驾驭课堂，提升课堂教学的有效性. 教材是学生的学习资源，教师在教学中挖掘数学教材内涵，有利于发展学生数学思维，提升学生数学学科素养.

［关键词］ 数学教材；学科素养；思维能力；创新

教材是教学的素材和载体，在教学使用的过程中部分教师对教材的使用存在诸多意见，对于教材的编排不理解，认为不适合一线的教学，内容过多或者过少……以至于在教学时使用不当，影响了教学效果. 但事实上教学效果的不佳不能仅仅让教材“背锅”，因为教材只是提供给教师使用的一种教学资源，它的编排有其内在的逻辑关系，符合普遍教学的要求，但并不是完全适用于每一个个体，因此教师需要根据自己的教学目标和自身的理解，结合学情进行合理的统筹和规划，活用教材，才能发挥教材的最大功能.

学科核心素养是学生适应社会的必备品格，课堂教学是提升学生核心素养的主要阵地. 教师在课堂教学中要根据教学目标合理使用教材，通过教学活动引导学生理解教材的内涵，在探究和实践中感受知识的发生过程，创新思维活动，提升学生的核心素养. 本文通过两则初中数学教学案例谈一谈如何活用教材以培养学生的核心素养.

探究数学结论的证明，培养创新意识

证明：三角形的内角和定理.

教师在学生已有知识的基础上，引导学生采用多种方法进行证明，具体过程如下：

1. 构造平角证明法

师：看到180°的角，同学们会想到什么角？为什么？

生（齐）：会想到平角及两条平行线之间的同旁内角和，因为这两类角非常直观，而且简单易画，能确保是180°.

师：说得非常好！说明了我们之前学过的联想法已经发挥作用了. 平角与直线是什么关系？它们之间有没有什么区别？

生1：平角具有角的一般特点，有一个顶点和两条边，并且两条边落在一条直线上，但直线是没有端点的.

师：我们来思考一下如何构造一个平角呢？既然平角有唯一的顶点，那么我们要先将它的顶点确定，再把三角形的三个内角转到这个平角上. 如何选取平角的顶点和构造平角呢？请同学们讲一讲具体的操作和理由.

生2：三角形的顶点位置特殊，因此我选取三角形的顶点A，过顶点A作直线DE与BC平行，进行角的等量转换.

师：很好，那么过顶点A作几条直线与边BC平行呢？说一说你为什么这么做.

生2：根据平行线定理应该是作唯一的一条平行直线.

师：好的，那么过点A作直线DE与BC平行，可以证明三角形内角和的定理吗？为什么？

生2：可以. 如图1，过点A作直线DE与BC平行，因为DE与BC平行，所以∠1与∠C相等，∠3与∠B相等，∠2与∠BAC相等，这样∠1，∠2，∠3就构成了一个平角.

师：回答得太精彩了！那请你来给大家进行一次规范的证明. （学生叙述，教师板书，再次强调数学语言的规范使用. ）

师：请问如何过点A在三角形的边上构造一个平角呢？

生2：可以将BA延长到点E，这样得到平角∠BAE，如图2.

师：你能证明你的结论吗？

生2：可以，证明的方法和上一题类似，只要将BA延长到点E，过点A作直线AD与BC平行……（教师展示规范的证明过程，总结提醒）

师：上述方法是先在三角形顶点处选取平角的顶点，但一定要这么做吗？能不能弱化这个条件呢？

生3：可以把平角的顶点选在三角形边上，这就和平角的形状非常相似了，也可以将平角的顶点选在三角形的内部或者外部.

师：说得太好了，看来同学们对于数学的分类讨论思想掌握得非常好. 我们怎样才能解决上述的构造思路呢？

生4：我们可以采用类似于上面的解题思路. 如图3，在AB的边上取一点D，作DE与BC平行，与AC相交于点E，作DF与AC平行，与BC相交于点F，通过平行线的性质可以得到∠1，∠4和∠C相等，∠2与∠A相等，∠3与∠B相等，由此证明∠A，∠B与∠C的和等于180°.

师：回答得非常精彩！下面我们看一下规范的证明过程（课件展示）. 如果将平角的顶点取在△ABC的内部或者外部，那么我们该如何证明呢？

学生陷入了沉思.

师：看来这个问题对同学们来说有一点难度. 请大家设想一下，当平角的顶点取在三角形的内外部时，我们可以过这个点作平行于边的几条直线？能否将三角形的内角与平角的顶点进行转换？这样问题是不是能迎刃而解？

（观察到有学生似乎有答案，教师请他进行回答）

生5：我觉得可以作这样几条平行线，过点O作直线DE与BC平行，作直线FG与AC平行，作直线MN与AB平行. （学生有些兴奋又有些犹豫）

师：我们来看一下课件，如图4或图5，过点O作直线DE与BC平行，作直线FG与AC平行，作直线MN与AB平行，根据平行线的性质可以得到∠1，∠4和∠C相等，∠2，∠6与∠A相等，∠3，∠5与∠B相等，由此证明∠A，∠B与∠C的和等于180°.

2. 构造两条平行线之间的同旁内角的证明方法

师：刚才我们用到的证明方法都是采用选择一个点，过该点作三角形边的平行线，根据平行线的性质将三角形的内角进行转换. 有没有其他的构造方法呢？比如平行线还能产生其他类型的角吗？能否通过类比的方法证明？（教师给予适当的提示）

生6：我们可以通过平行线中同旁内角和为180°的性质来构造. 如图6，过点A作直线AD与BC平行，根据平行线的性质，可以得到∠1与∠C相等，∠1，∠2與∠B的和为180°，因为∠2与∠BAC相等，所以三角形中∠A，∠B和∠C的和为180°.

师：说得太好了！通过这个探究方法，我们发现这种证明方法更加简便和精辟. 我们设想一下能分别过三个顶点作平行直线进行构造和类比证明吗？

生7：可以证明. 如图7，分别过点A，B，C作直线AD，BF，使其和CE互相平行. 根据平行线的性质可以得到∠1和∠3相等，∠2和∠4相等，∠4，∠5，∠6和∠3的和为180°. 因为∠5与∠ABC相等，∠6和∠ACB相等，∠3与∠4的和与∠BAC相等，所以三角形的内角和为180°.

师：精彩！通过刚才的探究，我们从两个角度探索得到定理的七种证明方法，其中，同学们觉得哪种方法最为精辟呢？

生（异口同声）：第六种.

师：是的，所以在解题过程中我们要多多动脑，敢于创新，从多个角度思考问题，探寻最佳的解题途径.

3. 教学反思

本例以问题为导向，通过精妙的问题引领激发学生的探究兴趣，点燃学生思维的火花，寻找学生的最近发展区，通过层层递进、环环相扣的问题，进行一步一步的证明. 在证明中，学生锻炼了逻辑推理能力，提高了课堂学习效率. 本案例探讨了七种证明三角形内角和为180°的方法，先作辅助线，再构造平角或平行线，最后进行等量转换从而证明定理，这对于学生的思维是一种挑战，它打破了教材的束缚，可以说是通过灵活使用教材提升学生核心素养的典范. 对于这七种证明方法，教师并不要求学生全部掌握，而是重点掌握构造的方法和思考的角度，这样设计的目的是在探究过程中培养学生的创新能力，使学生掌握探究的方法，为以后的长期学习奠定基础. 进行一题多解的探究可以关注到不同层次的学生，让学习程度较好的学生能更加深入地理解数学探究的方法和思路，同时学习能力稍弱的学生也能选择较为简捷的证明方法，同样获得解题的动力.

探究多边形的概念教学，形成严谨治学的科学精神

数学概念具有抽象、严谨的特征，在初中数学教学中会遇到很多的数学概念和定义. 如何让学生感受数学概念的严谨？笔者进行了一些探究：

1. 探究平面多边形的数学概念

师：（在学生阅读教材的基础上提出问题）我们看到过这样定义多边形：在平面内，一些首尾相连的线段组成的封闭图形叫作多边形. 你觉得这样的定义准确吗？为什么？

学生思考，小组合作交流讨论，各抒己见.

生1：我觉得对的，因为很多书上都是这样写的.

生2：我觉得有问题，因为既然老师提出来了，那肯定是值得商榷的.

生3：我觉得是对的，因为这个定义比三角形定义多了一个条件“在平面内”.

生4：我觉得是不对的，因为我们仔细看三角形的定义，这个概念里面少了两个条件，“不共直线”和“n条”.

生5：这是错误的，因为这样的定义不能保证一定是多边形，还可以有很多奇怪的图形.

生6：这是不对的，我们可以用反证法进行证明，按照这个定义，我们可以画出图8和图9这样的图形，这两个图形和书本上的不同.

（学生各抒己见，教师先不进行评论. 学生发表意见之后，教师进行评价，指出学生的问题并且肯定已经有学生学会了判断定义是否完善的方法，接着提出问题）

师：请同学们思考一下“在平面内”这个条件的重要性.

生7：我们可以在纸上画一个四边形，如果把这个四边形沿对角线进行对折，得到的线段也是满足刚才的定义的，但是这不是我们所指的四边形. （学生一边操作，一边解说）

师：说得非常好！这是一种反证的方法. 为什么不是所有图形的定义都强调在平面内呢？比如三角形为什么就没有强调在平面内. （教师提示不共线的三点确定一个平面，但是不做深入的探究）如果这个概念中少了“不共直线”这个条件可以吗？

生8：我觉得不行，如果与三角形的定义进行类比，就会发现少了这个条件，这些线段有可能成为一条线段.

师：回答得很好！同样采用反证法证明这个条件是不能省去的，因此我们应把“不共直线”这个条件加上去. 对于缺少了“n条”这个条件，你们有没有什么想法呢？

生9：“n条”就是将多边形的边数进行了具体的限制.

师：刚才有同学提出，会有其他的一些奇怪的多边形，是怎样奇怪的多边形呢？

生10：会出现图8的五角星图形或图9的凹四边形.

师：回答得很直观，通过直接画出图形我们就可以找出这个定义中的破绽，所以作图能力在数学的学习中非常重要. 我们观察图8，五角星的边有什么特征？

生11：它的边会出现相交的现象.

师：你观察得非常仔细而且善于总结，值得表扬，对这个问题我们暂不做研究. 我们先把“且不相交”这个条件补上.

如图10，我们补充完善的定义是这样的，把在同一个平面内不共直线的n条线段首尾顺次相接且不相交组成的封闭图形称作平面多边形AAA…A（n∈Z+，n≥3）. 目前我们暂时不涉及内凹的多边形，以后会继续学习凹凸多边形的定义. 如果没有特别说明，我们只考虑平面的凸多边形.

2. 教学反思

概念教学容易陷入枯燥乏味和强行记忆的误区，本例中通过设置反问调动學生的好奇心和积极性，提出“这样定义是为什么”“如果不这样定义可以吗？怎样改动呢？这样改的依据是什么”等问题. 这些问题能加强学生对概念教学的理解，并通过反证法进行证明和增补条件完善学生对平面多边形概念的理解，培养他们严谨治学的精神.

以上两个教学案例是教师灵活使用教材的典范. 在钻研教材、理解教材的基础上，教师深入贯彻课改的理念，实践课改的思想，在教学活动中发展学生的能力. 课堂教学体现了教师的主导作用，尊重了学生的主体地位，调动了学生的学习积极性，鼓励学生积极思考、踊跃参与，让他们收获学习后的喜悦. 在教学中教师注意教学评的一致性，采用多元评价的方法和手段，让教学方式更加丰富多样，多角度践行课改的精神. 同时，教师要创新使用教材，关注学生思维能力的发展，培养他们的合作交流和语言表达能力，提升他们的数学学科核心素养.

综上所述，教无定法，教材是教学的资源. 教师在教学中要灵活使用教材，用教材教而不是教教材. 在当前的课改浪潮中，教师还要积极开拓创新，转变教学观念，践行课改精神，真正将学生核心素养的培养落实到位，引领学生突破思维束缚，实现创新发展.