白文波

［摘  要］ 综合性强、知识点多的问题常让学生望而生畏，探寻知识内在的规律，不仅能帮助学生捋清知识间的联系，还能突出数学的本质，形成良好的解题技巧，实现数学综合素养的提升. 文章从探寻数字类、计算类以及图形类的规律性问题出发，具体谈谈如何通过大胆猜想与数形结合思想，发现问题的本质，巧解问题.

［关键词］ 规律；数字；计算；图形

新课标在第三学段数学知识与技能目标中提出：“要注重引导学生探索具体问题中存在的内在联系与规律性变化，运用代数式、不等式、方程或函数等方式解决问题. ”探寻具体问题的规律是新课标对学生提出的要求，也是数学教学所面临的实际问题. 实践证明，规律的探寻，能有效培养学生的猜想、归纳、推理以及创新等能力.

探寻规律题是指在一定条件下，经探究发现所给定的数学对象具有一定的规律性，通过对这种规律的探寻，可获得问题的本质，实现解题. 初中数学考查规律性问题，常以给出一组数、式子、图、条件等，让学生通过自主观察、分析、推导出其中的规律. 此过程不仅体现了学生的思维发展历程，还彰显了从特殊到一般再到特殊的重要数学思想方法. 解决此类题对培养学生的创新意识，提升探究能力具有深远的影响.

数字类问题

数字类规律性问题的特点主要体现在：问题给出初始的一些形式，其中蕴含着一定的特殊规律，只要找出这种规律的一般形式，即可求出问题中的特殊值. 数字类规律问题的解题关键就在于如何发现问题所提供的初始形式中的规律，一般通过比较法找出变量与不变量，其中变化的量会随哪个量而发生变化.

例1已知：162=100×（1+1）+1×20+36=256；

262=100×2×（2+1）+2×20+36=676；

362=100×3×（3+1）+3×20+36=1296；

…

762=（                                  ）=5776；

862=（                                  ）=7396.

问题：（1）根据问题所呈现的规律，将括号内填完整；

（2）用字母表示本题的规律；

（3）计算2162的结论.

分析：观察本题所呈现的几个式子，会发现其中有些数据一直没有发生变化，而发生变化的数据只有几个，且与平方数上的十位数有直接关系，具体表现在：①四个给定式子中都存在100，

1，20，36四个数，那么括号内待填写的部分，也不能缺少这几个数据；②括号外所乘的数、括号内几+1的数、与20相乘的数以及平方数的十位数是相同的. 根据这两点，即可完整地填写两个括号.

只要掌握了第一个问题的填写方式，解决第二问则手到擒来，只要将数据更改为相应的字母即可. 解决了第二问，第三问仅需将数据按照规律代入到字母所表达的一般形式中，即可获得第三问的结论. 这三问展示了典型的“特殊—一般—特殊”的数学思想，这种思想方法的获得，为学生解题能力的提升奠定了坚实的基础.

学生经思考后，分别解得本题结论分别为：

（1）762=100×7×（7+1）+7×20+36=5776，862=100×8×（8+1）+8×20+36=7396；

（2）（10n+6）2=100n（n+1）+20n+36；

（3）2162=（21×10+6）2=100×21×（21+1）+21×20+36=46656.

觀察以上几题的结论，会发现各个问题之间都有着千丝万缕的联系，上一问为下一问所服务，而下一问的解题过程又回归到上一问的解题思路中去，几个问题逐层深入、循序渐进地发展，学生的思维也随着问题的变化而逐渐深刻，随着问题的逐个突破，学生的解题能力也在无形中得以提升.

计算类问题

数学又被国人称为算术，就是因为计算是学习数学的基础与关键. 计算类的问题中，有些存在显著的规律性，只要能找出其中的规律，即可简化计算难度，让解题变得又快又准. 特别对于一些计算过程繁杂的问题，教师不要让学生一门心思钻进去死算，而应探寻其中存在的规律，找出巧算的方法. 这就要求学生要有一双善于洞察与发现的慧眼，能透过现象发现内在规律，从而化繁为简，实现能力的突破.

例2计算

看到本题，有种眼花缭乱的感觉. 若静下心来，对各个括号内的数进行逐个对比、分析，会发现每个括号内都是2减一个分数；再观察每个分数的分母，3，8，15，24，…，99之间并没有学生所期待的倍数关系，而相邻两数之间的差，也不呈均等的关系. 这就给学生带来了困惑，这些分母数字之间到底存在怎样的联系呢？有什么办法找出这种联系呢？

为此，笔者引导学生打破常规思维，换个角度去思考，将分母上的各个数据进行拆分. 学生经合作交流后，提出将数据分别进行以下分解：3=1×3，8=2×4，15=3×5，24=4×6，…

通过对分解后数据的分析，会发现其中存在的规律，接下来的数应该就是5×7=35，而99则为9×11的结论. 只要算出每个括号内的式子，再将分母进行分解，约分后问题就变得特别简单.

解：对括号内的式子进行拆分，2-===，以此类推，2-=；2-=；…；2-=.

将分解重组的式子相乘，即×××…×=.

解题中，若遇到思维的瓶颈，可换一种角度重新去观察与分析，只要捕捉到数据间有关联的信息，那么离解决问题就不远了. 此过程的重点在于要学会从不同的视角或层次去审视、分析问题，要用敏锐的眼光去伪求真，找到有用的信息，让规律的本质在抽丝剥茧中暴露，从而顺利解题.

新课标倡导要培养学生的创新意识，而学生自主发现问题并解决问题是形成创新意识的基础，独立思考是实现创新的核心，概括归纳出问题的规律并验证是实现创新的关键. 数字类规律问题贯穿于数学教育的始终，包括近些年的中考题中也常能看到它的身影. 因此，教师可将此类问题与创新意识的培养融合在一起，有意识地加以引导，让学生在自主探索中发现，实现能力的提升.

图形类问题

万物皆流变，数学除了数字、计算类存在一定的规律之外，图形的变化更是让人爱恨交加. 变化莫测的图形，给数学带来无尽的美感与享受，也为数学教学带来许多便利，尤其是将复杂的数量关系用直观的图形表示时，真是大快人心. 但图形的规律性问题，也给不少学生带来了困惑，这是一个说简单也简单，说复杂又很复杂的问题. 想要突破图形规律性问题的障碍，关键要为学生创造探索的机会，让学生在“做中学”，自主探索图形的变化规律，找出本质，体验解决问题方法的多元化特征.

例3如图1所示，用这种方式摆放大小相等的棋子，依照这种规律继续摆放，第4个图需要几枚棋子？第999个图需要多少枚棋子？

分析：要摆放第4个图，对于学生来说问题并不大，只要在草稿纸上画出来，即可获得答案. 但要摆放第999个图，在课堂这个条件下是无法画出来的. 那就必须放弃数出来的这种方法，而需应用规律题常用的“特殊—一般—特殊”的模型，先找出第n个图对应多少枚棋子，再计算第999个图的棋子数量.

既然知道解决问题的方法，接下来就是要建立模型. 教师可引导学生从以下几步着手：

第一步：如表1，利用数形结合思想，将图形转化成相应的数，建立表格，寻找“数量”之间存在的规律.

第二步：如图2所示，从“形”的角度观察，分析每个图形摆放的结构特征，对前后图形之间存在的规律加以分析.

从不同视角出发，会发现图形存在不同的规律. 不论用哪种眼光去分析，只要探寻出它的一般模型，即可实现解题. 本题若在学生有函数基础的条件下解题，也可将问题转化为函数类的问题进行思考. 因此，视角不同，解题方法也不一样，如从“数”的角度去分析，4，7，10，…，后一個数均比前一个数大3，那么第n个图则是关于n的一次函数，设y=kn+b（k≠0），所对应的棋子坐标则为（1，4），（2，7）等，点坐标代入解析式则可获得y=3n+1，那么摆放第n个图应用掉（3n+1）枚棋子.

遇到解决图形规律类问题，教师可让学生运用数形结合思想，将图形转化成数，并将转化后的数列成表格，以便观察其中存在的内在关系，从而猜想出相应的数学规律，并用合适的代数式表示. 除此之外，教师还可引导学生从不同的角度去分析图形的形状，找出其中存在的内在规律等.

若一个问题涉及较复杂的情况时，教师可引导学生从问题的简单形式着手进行研究，从简单或特殊形式中获得启发，形成某种猜想，为得到问题的一般形式作铺垫. 这种猜想、归纳的方法也是研究数学重要的策略之一.

总之，探寻规律性问题的基本思路不外乎从特殊情形中观察、探索、猜想、总结出一般模型，再以一般模型来解决特殊的问题. 这一类问题具有题型新、形式多样化等特征，这也对学生的思维提出了较高的要求，并为学生提供了较为广阔的思考空间. 因此，探寻规律类问题对培养学生的创新意识具有重要的促进作用.