邬吉利

［摘  要］ 分类思想是解决数学问题的一种重要思想方法. 分类思想的基本思路是教师提出问题，学生思考，并在考虑多种情况发生的情况下，感悟分类讨论的意义. 在中考复习中，教师要注重学生数学思想方法的渗透，培养学生解决问题的能力. 分类讨论思想的关键是理清分类的原因以及分类的依据.

［关键词］ 数学思想；核心素養；分类讨论

所谓分类讨论，就是在解决数学问题时，给出的对象不能统一研究，此时需要师生依据数学对象本质属性的异同点，将对象分为不同类别，然后逐一研究，得到整个问题的解决方法，这样的思想方法称为“分类讨论思想”.

分类讨论思想是解决数学问题的一种常用方法. 解决数学问题，需要学生具有一定的分析问题的能力. 运用分类讨论思想解题时，要求分类不重复、不遗漏、标准统一、分类逐级进行. 在平时的教学中，教师应对学生进行分类讨论思想指导，培养学生解决问题的能力，提升学生的核心素养. 下面以“中考专题复习课之分类讨论思想”为例，详细探讨分类讨论思想在数学教学中的应用，探讨分类产生的原因、分类的依据，以供参考.

基本情况分析

1. 教材分析

分类讨论，是在解决问题时，对出现的多种情况和可能性进行研究的一种常见数学思想方法. 分类讨论思想在代数、几何、概率与统计中都会用到，在中考压轴题中出现得尤其多. 分类的原则是：分类中的每一部分都是独立的；一次分类按一个标准；分类讨论应逐级进行.

2. 学情分析

学生解决问题时，假如缺乏分析问题的能力，对问题的思考仅停留在表层，对问题的剖析不深入，就很难形成解决问题的思想和方法. 假如学生在解题时已经获得了解题经验，但没有形成系统的框架，那么中考复习时就要把一系列的数学问题串联起来，形成知识体系和框架结构，从而培养学生解决问题的能力，发展学生的数学思维能力.

3. 教学目标

（1）理解和掌握分类讨论的依据、分类讨论的原则.

（2）培养学生思维的条理性、缜密性、灵活性，使学生学会从整体考虑问题，增强“用数学”的意识.

4. 教学重点、难点

教学重点：让学生认识到分类讨论是数学中常用的思想，并对题目中出现的不确定因素进行分类讨论.

教学难点：分类过程中要做到标准统一，分类不遗漏也不重复.

教学过程

1. 基本练习

问题1：在数轴上，点A表示的数是-1，则到点A的距离为2的点表示的数是（   ）

A. 1B. 3 C. ±2D. 1或-3

分类理由因点的位置不确定，所以需要分类讨论.

问题2：已知一组数据-1，0，2，4，x的极差为7，则x的值是（   ）

A. 6B. 11C. 6或-3D. 11或-3

分类理由因不确定数据中的最大值和最小值，所以需要分类讨论.

问题3：若函数y=mx2-4x+4的图像与x轴只有一个公共点，则m的值为（   ）

A. 1B. 1或0 C. 4D. -1

分类理由因不确定函数的类型，所以需要分类讨论.

问题4：如果等腰三角形的一个内角为50°，那么它的一个底角为（   ）

A. 80° B. 65° C. 50°或65°D. 40°

分类理由因不确定等腰三角形的顶角与底角，所以需要分类讨论.

设计意图上述4道题能让学生认识到分类讨论在代数、几何方面的应用，并能体会到分类讨论是一种重要的思想. 分类讨论的关键是弄清楚分类的原因，明确分类讨论的对象和标准，根据可能出现的各种情况，做到既不重复，又不遗漏.

2. 典例导悟

引例：如图1所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点Q在AB上，且QB=2，点P从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动. 设点P运动的时间为t s，则当t为何值时，△BPQ是等腰三角形？

设计意图这是一道单点运动后形成等腰三角形的分类试题（例题）. 由于等腰三角形的腰和底不确定，所以要进行分类讨论. 教师可书写板书，为学生做示范，让学生明确如何分类、分类的标准，示范后让学生做变式练习.

师：△BPQ是等腰三角形，你能明确谁是等腰三角形的底，谁是等腰三角形的腰吗？

生1：不能，所以要分情况讨论.

师：那怎么分类呢？（此时渗透了分类讨论思想）

（结合教师启发式的语言，小组合作讨论、交流）

生2：对等腰三角形的顶角进行分类. 若∠B是顶角，则BQ和BP为腰，PQ为底，以此类推.

……

教师教学完毕，要让学生总结分类的方法，并明确分类要有标准，且要做到不重不漏，接下来就让学生做变式练习.

变式1如图2所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3， BC=4，点P从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向B运动，同时点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动. 设点P运动的时间为t s，则当t为何值时，△PBQ为直角三角形？

师：知道了等腰三角形的分类方式，那将等腰三角形变为直角三角形，又该怎么解决呢？

（此时渗透了类比思想）

生3：按照直角顶点来分类.

师：请在图3中画出Rt△PBQ.

变式2如图2所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P在BC上，点Q在AB上，要使△BPQ既是直角三角形，又是等腰三角形，则AQ=______.

设计意图“变式2”的图形与“引例”的图形一样，不过动点由一个变成了两个，构成的三角形也由等腰三角形变成了等腰直角三角形. 题目要求△BPQ既是直角三角形，又是等腰三角形，學生可能不会分类，此时教师可以引导学生先确定直角三角形BPQ的直角顶点（有两种情况），再考虑△BPQ是等腰三角形的情况.

师：通过“引例”和“变式1”，我们明确了等腰三角形和直角三角形的分类方式，“变式2”却要求三角形既是等腰三角形又是直角三角形，此时该怎么办呢？

（学生集体陷入思考状态）

师：（启发）对比等腰三角形和直角三角形的分类方式，哪种分类方式相对容易？

生4：直角三角形的分类方式比较简单，而且图形容易画出来.

师：（启发）同学们的观察能力很强. 题目同时出现了“等腰”和“直角”，下面我们不妨先从“直角”的角度来分一下类.

（学生受启发后集体思考）

从“引例”到“变式1”“变式2”，试题越来越难. 教师通过启发式提问，不仅拓宽了学生的思路，而且巩固了学生的知识，促进了学生多角度地探究问题、思考问题和解决问题，培养了学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，提升了学生的核心素养，使他们敢于去想、去做、去尝试.

掌握分类方法，领会分类实质，对学生深刻理解基础知识，提高分析问题和解决问题的能力来说都非常重要. 学生只要明晰分类的根本原因，知道分类的标准，并善于挖掘基本图形，就能解决分类讨论试题.

运用分类思想解决数学问题的几点思考

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能，体会和运用数学思想和方法，获得基本的数学活动经验. ”数学教学就是要培养学生发现、提出、分析、解决问题的能力. 在分析问题的过程中，教师要重视数学思想方法的渗透. 一个问题往往是多种思想方法的结合，所以在教学中教师要培养学生多角度思考问题的能力，从而提高学生解决数学问题的能力.

1. 以问题为引领，探讨分类意义

数学思想和方法伴随着问题的解决而产生，所以通过解决问题能归纳、总结出数学思想和方法. 解决数学问题时，会出现不确定因素，所以分类讨论思想应运而生. 因此，解决问题时，教师要让学生明晰分类讨论的原因. 如“基本练习”中的“问题1”，分类的原因是点的位置不确定，可能在点A左边，也可能在点A右边；“问题2”是极差问题，又因为极差=最大值-最小值，所给的数据有未知数，产生了不确定因素，所以要分类（未知数可能是最大值，也可能是最小值）.

分类讨论思想以问题为引领，对问题中的不确定因素进行分类讨论. 要培养学生的分类讨论意识，教师就要在平时的教学中注重学生逻辑思维的培养，让他们理清题中的因果关系，在问题的设计上要由浅入深，通过实例使他们逐步感知分类讨论产生的原因与意义.

2. 开展变式教学，促进深度学习

变式是指改变问题的条件或者结论，层层递进，训练学生的思维，培养学生解决问题的能力. 所以教师在选择问题时，要选择能一题多变的“题根”. 教学时，教师可以运用一题多变的方式来培养学生思维的灵活性，并且鼓励学生从不同的角度去思考问题，避免思维固化，进而培养学生思维的发散性.

如“引例”是单动点问题，分类讨论等腰三角形，这个“题根”比较简单，“变式1”和“变式2”则改变条件，变单动点问题为双动点问题，促进学生深度思考. 试题虽然变了，但思维方式没有改变，所以问题依然能解决. 从“变式1”到“变式2”，依然是双动点问题，但由讨论直角三角形变成了讨论等腰直角三角形，难度加深，学生思维的火花不断碰撞，思维得到不断的训练，分析问题的能力也不断提高.

3. 加强能力培养，提升核心素养

数学八大核心素养包括数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想. 在解决问题的过程中，教师要提高学生体会与感悟题中所蕴含的数学思想和方法的能力. 能力的培养是多角度的，有数学运算能力、逻辑推理能力等，数学运算能力是解决问题的基础，贯穿解题过程始终，逻辑推理能力是分析问题的灵魂，能推进问题思考的方向，所以，为了提高学生解决问题的能力，教师要加强学生数学能力的培养，提升学生的数学核心素养.

数学能力是在数学活动中形成的，是在数学知识技能的基础上不断发展起来的. 缺乏能力的培养，就无法提高解题能力：缺乏数学运算能力，就无法得到正确的结果；缺乏逻辑推理能力，就无法进行几何证明，无法分析问题……所以数学教学要加强学生能力的培养，要注重培养学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想等，从而提升数学核心素养.

结语

分类讨论思想在历年的中考数学试题中都有广泛的应用，它有利于培养学生思维的条理性、缜密性和灵活性，能让学生从整体的角度思考问题. 学生只有掌握了分类讨论思想方法，才能在解题中不漏解，也不出现重复的解，所以对于初三的学生来说，学会分类讨论思想尤其重要. 教学分类讨论思想时，教师要围绕分类的依据和分类的原则来展开，如什么样的题目才需要分类，又该如何分类，从而培养学生思维的缜密性，提升学生的核心素养.