广东省惠州市第一中学 (516007) 陈 义 方志平

所谓隐含信息就是指题目没有直说却隐藏在文字、式子或图形等信息中.这些信息常常巧妙地隐藏在题设的背后，不易被发现.隐含条件是解题思路中关键的因素，往往因没抓住而使解题一筹莫展，甚至很容易把解题思路引向歧途．因此解题者要善于寻找题目中的“蛛丝马迹”，从多角度，多方向，多层次去挖掘隐含条件，顺藤摸瓜，捕捉隐藏信息，往往可以迅速为解题提供关键线索，收到事半功倍之效．本文举例说明数学解题中挖掘隐含信息的几种途径，供参考.

1.从题目给出的条件中挖掘隐含信息

评注：本题中x、y∈R是存在的实数，即条件中关于x,y的二元二次方程组是有解的，于是消去y后得到关于x的一元二次方程的根的判别式△≥0，这是一个隐含条件，其次x2+y2≥0 是另外一个隐含条件.这二者若不能挖掘出来，是不可能求出正确结果的.

2.从题目涉及的概念中挖掘隐含信息

例3 等差数列{an}中，a1=1,an=31，若公差d为正整数，则项数n的不同取值有种.

评注：由本题条件容易求出项数n的不同取值，问题是学生忽视等差数列的定义，此概念隐藏着数列至少有3项.可见这个隐蔽性若没有挖掘，会直接导致本题求解出错.因此，数学解题时从题目牵涉的概念中挖掘隐含信息是值得我们关注的.

3.从题目所求的结论中挖掘隐含信息

例5 下列命题中为真命题的序号是.

例6 设方程x2+ax+b-2=0(a,b∈R),在(-∞,-2]∪[2,+∞)上有实根,求a2+b2的最小值.

评注：从本题条件中想通过参变分离，直接用x来表示a2+b2是很难做到的；构造二次函数求解也是十分困难的.于是逆向思考，从结论着手挖掘隐藏信息，由a2+b2联想到点(a,b)与原点(0,0)之间距离的平方，于是所求结论转化为点与线之间的距离问题.

4.从题目涉及的图形中挖掘隐含信息

例7 如图1，已知三棱锥A-BCO,OA,OB,OC两两垂直，且长度分别为3,4,5.长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内及边界运动，则线段MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体中较小的体积为.

图1

评注：本题图形隐含着P点是一个直角三角形斜边的中点，且是动态的，OP长总是线段MN长度的一半，于是挖掘出点P的轨迹是球面的一部分.

图2

评注：本题条件与结论似乎没有什么直接联系.由于条件涉及三个角,且条件经变形得cos2α+cos2β+cos2γ=1,这是长方体中我们比较熟悉的一个结论,于是联想构造一个棱长分别为a,b,c的长方体辅助解题，在这个长方体中隐藏着可用a,b,c表示tanα,tanβ,tanγ.数学解题时有些隐含条件需要根据题目的结构特征，要求学生以直觉思维和发散思维为基础，运用迁移、类比、联想、转化、猜想等方法，从独创、新颖、多变的角度来挖掘隐含条件.

5.从题目的解答过程中挖掘隐含信息

评注：本题条件中是看不到隐含信息的，但在解答过程中隐藏信息就暴露出来了，即由tanα+tanβ=-4a<0，tanα·tanβ=3a+1>0,发现tanα,tanβ是关于x的一元二次方程x2+4ax+3a+1=0的两个负根.

评注：本题求出两组ab的值，暗示我们到要验证.其中一组ab=1不合题意，这个隐藏信息是在解题过程中挖掘出来的.多解问题是数学解题很普通的常识，最容易忽视检验，正是它不起眼，会导致解题出错.

由此可见，挖掘隐含信息是数学解题中的一把双刃剑，隐含信息虽然严重干扰和阻碍了数学解题，但只要能够有效地挖掘并合理的利用，就能发挥其积极作用.挖掘隐含信息是沟通“知”与“求”关系的纽带，是架起“问”与“答”之间的桥梁.因此，挖掘和利用好隐含信息是顺利求解数学题的关键要素.