浙江省象山县第二中学 (315731) 葛海燕

“大概念”由英国学者Wynne Harlen提出的，大概念是对所观察的相互关系或特征进行解释后的抽象表达，能够将离散的事实和意义相联系.从广泛意义上讲，大概念又叫共同概念，超越学科界限，成为各学科相互联系的纽带和桥梁，体现了科学概念的相通性和交融性，跨学科概念为学生提供了框架，学生可以跨越学科学习，解决单一学科难以解决的问题.学科大概念(big idea)亦称“大观念”或“核心观念”，指向具体知识背后更为本质、更为核心的概念或思想，是一个学科领域中最精华、最有价值的内容.如今,大概念教学已成为指导指向核心素养教学变革的重要理念.在宏观层面，它为学习者提供认知框架，成为教育改革尤其是学生学科核心素养培育的重要突破口；在中观层面，它是重要的学科课程线索，为新课程模式的开发提供抓手；在微观层面，它为学科概念教学的设计提供重要指导，从而提高教学效率和效能.

一、解读“大概念”，建构单元教学

数学大概念视角下的单元教学以数学大概念为核心，基于学生的必备知识、关键能力、数学素养和核心价值，选择并整合相关概念、知识、事实、经验和问题等，引导学生把握知识背后的思想方法、意义和价值观念，建立概念网络，重构学习单元，并通过整体设计与实施，让学生从整体上认知知识与逻辑、结构与本质、应用与生成、价值与意义，帮助学生形成深层次、有意义、结构化和可迁移的概念体系，理解数学本质.单元教学是在整体思维指导下，在整体把握教材的基础上，用全局的眼光、系统的方法，将教材中具有内在联系的知识进行整合、重组并形成相对完整、动态的教学.单元教学帮助学生从更大的视角认识数学对象，学习数学思维方法，通过变换知识载体，从横向和纵向打通知识间的联系，实现对知识的内涵式理解和建构.《普通高中数学课程标准(2017年版)》在课程结构设计依据中提出：依据数学学科特点，关注数学逻辑体系、内容主线、知识间的关联，重视数学实践和数学文化.教师要整体把握教学内容，促进数学核心素养的连续性和阶段性发展.教师要关注主题教学和单元教学，要关注数学核心素养发展的各阶段目标、单元教学目标和课时教学目标的统一、关注数学目标对实现核心素养发展的贡献.教师进行单元教学设计一般遵循“数学核心素养——主题目标——整章目标——单元目标——课时目标”的路径，是“总——分”的过程，而学生学习则是按照“问题解决——课时目标——单元目标——整章目标——主题目标——核心素养”的路径，是“分——综”的过程，最终目标是学生综合素养的提升.要实现这两个过程的完美统一，关键是做好“整章——单元——课时”的教学设计，这是一个完整的系统.本面以等差数列前n项和公式为例谈谈大概念下的单元教学设计：整个单元分六个环节，具体如下：单元统帅，引入课题→多种角度，探究公式→整体审视，解读公式→分析条件，应用公式→函数视角，再认公式→梳理知识，构建网络.本单元教学分两个课时，第一课时：单元统帅，引入课题→多种角度，探究公式→整体审视，解读公式；第二课时：分析条件，应用公式→函数视角，再认公式→梳理知识，建构网络.

二、提取“大概念”，设计课时教学

如图1所示，从宏观层面来看，本单元教学的大概念是关于公式课和等差(等比)数列学习的学法指导.从中观层面来看，本单元教学的大概念是数学思想方法.数学教学内容贯穿着两条主线，即数学基础知识和数学思想方法.数学基础知识是一条明线，直接用文字形式写在教材里，反映着知识间的纵向联系.数学思想方法是一条暗线，反映着知识间的横向联系，隐藏在基础知识的背后，需要加以分析、提炼才能使之显露出来.数学教学中对提高学生的素质起着重要作用的，是在长期的数学学习中逐步形成的数学精神和数学思想方法.大概念引领下的数学教育更要重视数学思想方法的教学.本节课蕴含着丰富的数学思想方法，如分类讨论思想、特殊到一般的思想、基本量思想、整体思想、方程思想、优化思想、裂项相消法、倒序相加法、归纳法等.从微观层面来看，本单元教学的大概念是等差数列前n项和公式的推导过程、记忆、运用.下面是等差数列前n项和第一课时的教学设计：

图1

1．单元统帅，引入课题

问题1前面我们学习了等差数列，等差数列的研究路径是什么？

学生回答，教师补充：等差数列的研究路径为：背景——定义——表示——性质——应用.

教师引导如何研究等差数列的性质呢？研究数学对象的性质就是研究它的组成要素以及相关要素之间的关系.等差数列的定义和性质都是通过“运算”得出来的，本节课我们继续用“运算”来研究等差数列的一个重要性质——等差数列前n项和公式.

设计意图：大概念下，在平时的教学中要重视学法的指导，等差数列的研究路径和方法可为等比数列的研究路径和方法提供指导.

问题2这是一堂公式学习课，我们已经学过了一些公式(比如对数运算的相关公式)，回顾一下公式学习的一般路径是什么？

师生一起回顾公式学习的一般路径：引入课题——公式推导——体会方法——公式记忆——公式应用(注意适用条件)——公式变形、拓展等.

设计意图：再次回顾公式课学习的一般路径，为后续自主学习提供指导.

2．师生交流，探究公式

方法一：首尾配对法

问题3前面我们学习了等差数列的重要性质有哪些？

学生回答，教师补充等差数列的重要性质并板书其中一个重要性质：若s,t,m,n∈N*,且s+t=m+n，则as+at=am+an.

问题4如何利用上述性质快速求出式子1+2+3+4+…+100的值？

学生回答：(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=5050.

问题5 令f(x)=x，如何用函数的观点审视上述等式？学生易得如下等式：

f(1)+f(100)=f(2)+f(99)=f(3)+f(98)=…=f(50)+f(51).

设计意图：为首尾配对法和倒序相加法作铺垫.

问题6如何用数列语言表示上述等式？易得a1+a100=a2+a99=a3+a98=…=a50+a51.

问题7你能用刚才的方法快速求式子1+2+3+…+100+101的值吗？

易得(1+101)+(2+100)+(3+99)+(4+98)+…+(50+52)+51=102×50+51=5151.

设计意图：自然引出首尾配对法中对项数n分奇数与偶数讨论，并为倒序相加法作铺垫.

问题8将上述方法推广到一般情形，如何利用上述性质快速求出1+2+3+4+…+(n-1)+n的值？

学生一般采用首尾配对法对项数n分奇数与偶数进行讨论.教师肯定学生的思路，并引导学生看课本第19页的规范书写.

设计意图：对n分奇偶讨论在老教材里是没有的，在新教材里先对n奇偶讨论.新教材的设计更科学，显示用新方法探究求等差数列前n项和的必要性.新教材的设计更自然，而且重视了数学思维的优化意识.

方法二：倒序相加法

问题9 在求n个正整数的和时，要对n分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦，能否设法避免分类讨论？

教师引导学生回顾小学里梯形面积公式的推导.如图2所示.

图2

设计意图：通过梯形倒置，把梯形的面积转化成已知的平行四边形的面积，这是形的倒置，为等差数列求和中的倒序相加法作铺垫.

问题10堆放铅笔的V形架如图3，共100层，类比梯形面积公式的推导过程求共放了几支铅笔？

图3

设计意图：从宏观上看，把三角形倒置，这是形的倒置；从微观上看，每一层都对应着钢管的数量，把三角形倒置，对应着数的倒置，从形的倒置自然过渡到数的倒置.

方法三：猜想归纳法

设计意图：猜想归纳法是求数列通项和前n项和的常用方法，如果是解答题可用数学归纳法加以证明.

方法四：裂项相消法

设计意图：裂项相消法是数列求和的重要方法，来源于课本又高于课本，因此很有必要挖掘裂项相消法.

3.整体审视，解读公式

(1)两个公式的联系

(2)公式的几何解读

公式(1)的几何解读：把梯形分割成一个平行四边形和一个三角形，如图4所示.公式(2)的几何解读：倒置补一个梯形，把梯形补成平行四边形，如图5所示.

图4 图5

三、反思“大概念”，建议单元教学

大概念是一个具有复杂教育内涵的当代术语，只有深入把握和理解大概念，才能更好地在实践中以大概念来引领课程设计和课堂教学.大概念是具有概括性、生成性和真实性的上位概念，可以超越特定的知识范围，不局限于具体的事实和技能，而是关注更大的概念、原则和过程，并将其运用到真实的情境之中，它既能纵向联系起学科内部知识，又能横向联系起跨学科知识，还能沟通学校教育与现实世界，是持久的、可迁移的.大概念又有多种表现形式，它并不局限于“概念”，能够促进学生理解与迁移的概念、原理、原则、策略乃至技能，都可以称之为大概念.

单元教学在一定程度上有利于学生形成结构化的知识体系，实现由浅层到深层次学习的跨越.单元教学注重学习任务引领，激发学生探究和求知的欲望，使学生在不断深化大概念同时发展核心素养.同时大概念下的单元教学也对教师提出了更高的要求和挑战，教师需认真研读课程标准，精选教学主题，设计符合学生认知规律和发展需求的单元学习内容，促进学生深度学习，落实立德树人的教育目标.建议教师在备课时要做到以下几点：

1.认真解读课标，分析核心素养.纵览全章，与数列相关的核心素养主要包括数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模.与本单元“等差数列前n项和公式”相关的核心素养有：逻辑推理、数学运算、数学建模.在探索等差数列前n项和公式的过程中，发展逻辑推理能力、数学运算能力；通过运用等差数列前n项和公式解决实际问题发展学生数学建模能力.在本单元第一课时中，主要是发展学生的逻辑推理能力和数学运算能力.

2.透彻分析教材，明确教学内容.教师要仔细阅读教材(包括章头图、阅读与思考、探究等)，然后明确单元内容，再确定课时划分、确定课时内容.

3.设计课时教学，渗透学法指导.到底要教学生什么？在教数学知识的同时，更重要的是要教学生会思考、提升数学素养.数学素养的提升要在平时的课堂学习中体验、感受、领悟的.如在课时教学中，引导学生梳理学习等差数列的研究路径；引导学生明确公式课的一般学习套路；引导学生将“首尾配对法”加工、完善成“倒序相加法”的过程中，对方法进行判断、比较、改进，让学生在理解算理的同时体会到如何思考问题.