湖南科技大学数学与计算科学学院 (411100) 邓思茂 陈佘喜

立体几何是历年高考的必考题型，2021年新高考数学Ⅰ卷第20题，延续历年高考的考点和难度，主要考查学生直观想象等核心素养，该题从三棱锥出发，考察学生对于空间点、线、面的掌握情况，同时又对空间角和立体图形的体积都有一定的涵盖.

一、真题展示与评析

(2021新高考全国Ⅰ卷20题)如图1，在三棱锥中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O为BD的中点，

图1

(1)证明：OA⊥CD；

(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA，且二面角的大小为45°，求三棱的体积.

评析：该题借助三棱锥考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直，直线的位置关系，空间二面角，立体图形的体积等知识点.第一问考查平面与平面垂直、直线与平面垂直的性质定理，第二问欲求三棱锥的体积，实质上由已知条件容易求出底面△BCD的面积，即求三棱锥的高，然而题目给出的条件中似乎只有二面角能与高联系起来，于是该题实际上求的是通过已知的二面角求出高.这与历年高考求二面角有一定的变化，也是2021年新高考的创新点，但是内容变化不大，即求二面角的各种方法，常用的有定义法、三垂线法、垂面法、射影面积法，其中垂面法是我们主要用的方法，射影面积法在新版教材中没有介绍，这需要学生在日常练习中熟悉，这也体现了新课程标准对学生要求的自主学习的理念.

二、解法探究

(1)证明：在三角形ABD中AB=AD，O为BD的中点，所以三角形ABD为等腰三角形，则AO⊥BD，而BD为平面ABD和平面BCD的交线，又平面ABD⊥平面BCD，AO平面ABD，所以AD⊥平面BCD，而CD平面BCD，由线面平行的性质定理可得OA⊥CD.

图2

评析：在用垂面法求平面与平面所成二面角余弦值的一般步骤为，建立合适的坐标系，写出相关点的坐标、写出两个平面的法向量，如果法向量不能直接看出，可以通过法向量与平面内两相交向量垂直求得、将所得的余弦值转化为二面角的角度，特别需要注意的是如果二面角为钝角所得值要取绝对值、最后精确得出二面角的值.

图3

评析：利用三垂线法求二面角的一般步骤为：在平面内选一点，向另一个平面作垂线，得到垂足、再通过垂足向交线坐垂线，得到交点，连接交点与定点、其角度就为二面角，运用此方法找二面角特别要注意定点的位置，和与底面垂直的垂足.

图4

评析：利用射影面积法求二面角的一般步骤为，由二面角的定义找出射影三角形、其比例为二面角的余弦值，该方法是三垂线法的延伸，适用于二面角不为一个特定的角度时.

结语：2021年新高考第20题的解法具有多元灵活的特点，本文介绍的解法中解法2及解法3明显较平常很常用的垂面法(向量法)要简便，学生在做立几题时要灵活选用不同的方法，不宜循规蹈矩，教师教学时也要选择多种方法教学，由此培养学生的发散思维，以便快速、准确的解决问题.