天水师范学院数学与统计学院 (741001) 唐保祥

1 问题提出

函数是高中数学的核心和灵魂,是必修课程的五个主题之一(预备知识、函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究) ,是贯穿高中数学课程的四条主线之一(函数、代数几何、概率与统计、数学建模活动与数学探究)[1].在2019年人教A版普通高中数学教材中,函数安排必修第一册中集中学习,在之后的各册教材中,涉及函数问题多数是连续函数的应用.函数有连续变量函数与离散变量函数(定义域是有限集或可列集合的函数称为离散变量函数,以下简称离散函数)之分.离散函数,在2019年人教A版高中数学课本选择性必修第二册概率与统计、选择性必修第三册数列中学习.离散函数与排列组合内容有密切的关系[2-7].中学数学对离散函数作一些深入探究,不仅会促使学生深化函数概念的理解,而且还能引导和启发学生从不同角度、不同层次对函数概念进行深入探究,能够挖掘巩固教材各章节知识点之间的内在联系,发展学生的数学抽象能力,使学生的数学素养得到提升.

鉴于上述原因,本文通过数例,探究离散函数与排列组合内容之间的关联,以期有抛砖引玉之效.

2 问题呈现

例1 已知数集A={a1,a2,…,am},B={b1,b2,…,bn},求数集A到数集B的所有不同函数的个数.

解：对任意一个函数f:A→B,∀ai∈A,f(ai)∈B,i=1,2,…,m,每个f(ai)在数集B中选择象的方法都有n(i=1,2,…,m)种,因为不同的象对应不同的函数,所以数集A到数集B的不同函数共有nm个.

例2 已知数集N={1,2,…,n},如果函数f:N→N满足∀i,j∈N,当i≤j时,f(i)≤f(j),本文称该函数f是离散单调递增函数;如果函数f满足∀i,j∈N,当i≤j时,f(i)≥f(j),则本文称该函数f是离散单调递减增函数;如果存在i∈N,f(i)=i,则本文称离散函数f是含有不动点的离散函数,并称i是离散函数f的一个不动点.

(1)求N到N的所有不同的离散单调递增函数的个数;

(2)求N到N的所有不同的离散单递减函数的个数;

(3)求N到N的所有不同的既非离散单调递增又非离散单调递减函数的个数;

(4)求N到N的所有不同的恰好含有i个不动点的离散函数的个数;

(5)求N到N的至少含有一个不动点的离散函数的个数.

解：(1)通过具体实例,探究单调函数数目的规律.由例1可知,当N={1,2,3}时,N到N的所有不同的函数共有33=27个.27个不同函数如表1所示:

表1

根据题目中离散单调递增函数的定义,由表1看出,函数f:{1,2,3}→{1,2,3}中共有10个离散单调递增函数,它们分别是f1,f2,f3,f5,f6,f9,f14,f15,f18,f27.离散函数对应的点(i,fk(i))(i=1,2,3)是横纵坐标都是1至3的整数,本文称之为格点.在坐标平面,把离散函数对应的格点与点(1,1)、(4,3)用水平或竖直的线段连接起来,画出f1,f2,f3,f5,f6,f9,f14,f15,f18,f27的图象如图1所示:

图1

由图1可知,每一个离散单调递增函数对应着沿小正方形的边,由点(1,1)到点(4,3)一条“最短路径”;反过来,每一条沿小正方形的边由点(1,1)到点(4,3)“最短路径”对应着一个离散单调增函数f:{1,2,3}→{1,2,3}.

(2)由表1看出,离散函数f:{1,2,3}→{1,2,3}中共有10个离散单调递减函数,它们分别是f1,f10,f13,f14,f19,f22,f23,f25,f26,f27.在坐标平面,把离散函数对应的格点与点(0,3)、(3,1)用水平或竖直的线段连接起来,画出f1,f10,f13,f14,f19,f22,f23,f25,f26,f27的图象如图2所示:

图2

由图2可知,每一个离散单调递减函数f:{1,2,3}→{1,2,3}对应着沿小正方形的边,由点(0,3)到点(3,1)一条“最短路径”;反过来,每一条沿小正方形的边由点(0,3)到点(3,1)“最短路径”对应着一个离散单调递减函数f:{1,2,3}→{1,2,3}.

(3)当N={1,2,…,n}时,既是离散单调增的函数又是离散单调递减的函数有n个,它们是fj(i)=i,i=1,2,…,n;j=1,2,…,n.

所以N到N的既非离散单调增又非离散单调递减函数的数目为

(5)设f是N到N的任意一个不含不动点的离散函数,则∀i∈N,f(i)≠i,所以f(i)只能取{1,2,…,i-1,i+1,…,n}中任意一个值,i=1,2,…,n.所以N到N的不含不动点的离散函数共有(n-1)n个.于是,N到N的至少含有一个不动点的离散函数的个数为nn-(n-1)n.

例3 已知数集A={a1,a2,…,am},B={b1,b2,…,bn},若m≤n,求满足条件∀ai,aj∈A,当ai≠aj时,f(ai)≠f(aj)的所有不同函数f:A→B的个数.

例4 已知A={1,2},B={0,3,4},给出数集A到数集B的值域中恰有两个元素的所有函数f:A→B.

解：集合B={0,3,4}的两个元素的子集有三个,它们分别是:B1={0,3},B2={0,4},B3={3,4}.所以值域中恰有两个元素的函数f:A→B1有2个、函数f:A→B2有2个、函数f:A→B3有2个.所以值域中恰有两个元素的所有函数f:A→B共有6个,这6个不同函数如表2所示:

表2

例5 已知A={1,2,3,4},B={0,1,2},函数f:A→B,满足f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4,求满足条件的函数共有多少个？

表3