APP下载

让数学教学自然生成

2022-05-08福建省长汀一中366300付礼福

中学数学研究(江西) 2022年5期
关键词:通项单调变式

福建省长汀一中 (366300) 付礼福

许多学生到高中后就感到数学更难学,更加抽象,知识更严谨,更加深奥难懂.数学给人以冷冰冰的、枯燥无味的感觉.事实上,高中数学是思维的科学,只有钻进去了才能感受到它是冰冷的美丽.它有简单美、对称美、曲线美、和谐美、自然美.数学教学中,教师应展示数学自然、精彩、美丽的本来面目,让数学来得更自然一些.只有在符合认知规律的自然生态下,学生的素养才能得到有效发展.

一、知识的产生要自然

数学来源于生活实际,又应用于生活.数学知识的产生和发展都是自然的与合理的.完美的数学符号、概念、法则、定理,是数学界长期自然、合理进化的结果.

学习的目的是运用、创新,建立知识结构框架,是学好高中数学的关键.数学概念、公式、法则是学好数学,解决数学问题的前提和基础.自然合理的才容易让人接受、理解,强塞硬灌的东西会被排斥.教学时,要注重概念的形成过程,公式的推导过程,让学生明确学习的必要性和意义,并且要抓住知识间的内在联系,让抽象知识直观化、具体化,自然而然地生成.

比如,函数的单调性是函数概念之后学习的第一个重要性质,是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念.这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变,对高一学生来说是难点.我通过提出下列问题,让学生思考,体验函数单调性概念的自然生成.

问题1 怎样用数学符号语言刻画“y随x的增大而增大”,“y随x的增大而减小”这个特征?

答:当x1y2.

问题2 为什么要在给定区间内取两个数x1、x2?

答:体现数的增大,至少要两个值,设为x1、x2,且x1

问题3 在给定区间内仅取两个数x1、x2能足够说明“x增大,y也随之增大” 这个特征吗?

答:举一反例y=x2,取x1=-1,x2=2,由x1

学生通过足够的时间思考、辨析,举反例等,对概念本质的理解更加深入,函数的单调性概念基本成型.乘势追问:

问题4 如果在给定的某个区间内,函数的图象从左到右一直是上升的,我们就说该函数在这个区间内是增函数.你能否叙述单调增函数的定义?

至此,函数的单调性概念算是水到渠成了,再通过应用加以巩固、深化和提高.再如人教A版(2019)三角函数一章,三角函数的图象和性质与函数y=Asin(ωx+φ)的图象,之间隔了一个三角恒等变换,这给图象学习带来不便,不自然,应调整顺序.

二、思维过程要自然

思维的产生源于问题,对问题进行观察、分析、综合、判断、推理等认识活动过程就是思维,是一种习惯性的思考方式.思维要灵活、严密、完整、有序,思维过程要自然,合情合理,不能诡异、突然的,大跨度的跳跃会让人莫名奇妙,就象变魔术,无法接受和理解.解决问题的一般思维程序是“审题→联想→尝试→反思”,明确目标,“由已知想可知”的正向推理,或“由未知想需知”的逆向思考,或“两面夹攻”,不断尝试,调整思路,直至思维贯通.若思路不通或麻烦,则可尝试把问题等价转化,换一种形式再思考.如AB中点为M,AB=2OM,意即OA⊥OB.

教学中,必须暴露“怎么想,为什么会这样想的”,思维自然形成的过程,包括尝试、碰壁、再尝试的过程,引导学生思考探索,启发思维.老师的包办代替会扼杀学生思维,强塞硬灌只会增加学生思维惰性.要让学生有饥饿感,迫切感,如饥似渴的学习.让学生限时训练,增强紧迫感,思维才会有效果.课堂教学的过程要精心“预设”,更要关注动态“生成”.适时引导、点拨、追问、解惑.课堂上要注意师生、生生的交流互动,互教互学,互相启发,让思维碰撞,迸发出智慧的火花,从而“站在巨人肩膀上攀登”,实现合作共赢,共同发展.

图1

图2

例2 (2021新高考全国Ⅰ卷)如图2,在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为BD的中点.

(1)证明:AO⊥CD;

(2)若△OCD是边长为1的等边三角形,点E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小为45°,求三棱锥A-BCD的体积.

分析:(1)逆向思考方便,要证线线垂直,只需证线面垂直,那么证哪条线与哪个平面垂直好呢?观察图形,结合已知,易知应去证AO⊥平面BCD,转化为只要证AO垂直于两个垂直平面的交线BD,而这易得,从而问题得证.

图3

三、解法思路要自然

教师的作用是启思导学,“授人以渔”,进行激励、唤醒、引领.学习数学离不开解题,解题的目的是巩固和加深对数学知识的理解,提高思维能力.在解决问题过程中,要引导学生多角度、多方位、多层次的思考,寻找解决的线索或路径,并注意整理思路,使“条理清楚,逻辑严密,步步有据,思路清晰,规范简洁”.

教学是师生的共同活动,“教学做合一”,教学生学,在做中教,在做中学,在做中感悟.“做”是核心,在做中融会贯通,灵活运用.解题思路要自然而然地展开,把复杂的东西简单化,难理解的东西通俗化,弄懂“为什么这样想”,找到更适合学生的自然解法,从而实现模仿到创新.

例3 (2016全国Ⅰ卷理)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.

(1)求a的取值范围;(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.

(1)解法1:(对参数分类讨论)f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).

(i)设a=0,则f(x)=(x-2)ex,f(x)只有一个零点x=2,不符合题意.

(ii)设a>0,则当x∈(-∞,1)时,f′(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0.所以f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.又f(1)=-e<0,f(2)=a>0,当x→-∞时,f(x)→+∞,此时f(x)存在两个零点,符合题意.

图4

(2)证法1:由解法1知f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增,由(1)结果不妨设x1<1f(2-x2),∵f(x1)=f(x2),即证f(x2)>f(2-x2).设h(x)=f(x)-f(2-x),x>1,则问题等价于证h(x)>0.∵h(x)=(x-2)ex+xe2-x,∴h′(x)=(x-1)(ex-e2-x).∴当x>1时,ex-e2-x>0,h′(x)>0,h(x)在(1,+∞)单调递增,h(x)>h(1)=0,从而原问题得证.

四、问题变式要自然

教学不仅是传授学生知识,更重要的是培养学生的思维能力,进行思想引领.在课堂教学中,应抓住思维训练这条主线,进行变式教学,通过问题驱动,激发学生去思考、创新.变式就是改变问题的条件或结论,变换问题的形式或内容,一般化或特殊化,得到新问题,激励学生进行重新思考,会从“变”的现象中发现“不变”的本质或规律,加深对知识的理解,培养学生的应变能力,切实从题海中走出来,实现真正的减负与增效.

变式要有针对性,要适度让学生参与.可以通过一些过渡性的语言,比如“还能求什么呢”“如果把这些条件稍微改一下,还能得到这个结果吗”,变式自然地生成,让学生清楚的认识到教师是怎样进行变式的,培养思维的灵活性、发散性,提高思维能力.

例4 已知数列{an}中,a1=1,且an+1=an+2n,求数列{an}的通项an.

目的是让学生掌握累加法求数列的通项,条件改为下面时呢?

变式1 已知数列{an}中,a1=1,且an+1=an+2,求数列{an}的通项an.

就是用公式法求数列的通项,条件改为下面时呢?

变式2 已知数列{an}中,a1=1,且an+1=3an+2,求数列{an}的通项an.

就是要会用构造法求数列的通项,条件改为下面时呢?

变式3 已知数列{an}中,a1=1,且an+1=3an+2n,求数列{an}的通项an.

这也是用构造法求通项,还有别的方法吗?

法3:已知两边同加2n+1,变为an+1+2n+1=3(an+2n)形式,化为等比数列,再做.

总之数学教学应抓住一切机会和环节,努力创造更自然、更合理、更有效的数学教学,确实提高学生思维的主动性、深刻性和流畅性.在教学过程中,不失时机地渗透思想教育,使学生在学习时有勇于尝试探索,敢拼敢闯的精神;懂得取其精华,去其糟粕,批判地继承;会辩证地分析问题,不唯师,不唯书,不迷信盲从,学会理性思维,灵活创新运用所学.

猜你喜欢

通项单调变式
数列通项与求和
单调任意恒成立,论参离参定最值
聚焦正、余弦定理的变式在高考中的应用
n分奇偶时,如何求数列的通项
巧求等差数列的通项
怎样判断函数的单调性
例谈高中数列通项求解的几种常见方法
从“解法自然”悟“变式自然”
问题引路,变式拓展
世界正在变得单调