淮北师范大学数学科学学院 (235000) 张 昆 李嘉扬

在文[1]中，笔者提出数学解题中的两种不同性质的疑难：“观念性疑难”与“技术性疑难”.众所周知，探究数学解题思路是一种有预谋的行为活动，任何一种有预谋的行为活动都需要在具体的观念指令下进行，因此，所谓“观念性疑难”就是解题主体在探究解题思路时，萌生不出合适的数学观念指令所导致的疑难；所谓“技术性疑难”，指的是当解题主体通过分析具体数学问题信息的特点，萌生出了合适的数学观念，形成了指导行为活动指令，但在使用这种行为活动指令操作具体的数学问题信息时，在某些具体的环节上，操作行为活动得不到具体的执行所出现的疑难，就是说，合适的数学观念不同通过执行操作性技术手段得以实现的疑难.

在对具有一定疑难的数学问题的教学设计及其课堂实施中，“观念性疑难”与“技术性疑难”是两种不同性质、不同层次的疑难.因此，数学教师应该依据具体数学问题的特点，找出这个具体问题的“观念性疑难”与“技术性疑难”，理解这两项疑难之间的关系，然后，以突破这两项不同性质的疑难为教学目标，帮助高三复习应考的学生突破这两项疑难.这里，举一个例子加以必要的说明.

(1)讨论函数f(x)的单调性；

在关于这道题的教学设计的教材分析(即探究证明不等式②尽可能多的思路)中，笔者经由较长时间的思考，猜想到不等式②的成立，可能无须依赖函数①这一条件，也就是说，这个不等式②可能是一个绝对不等式，解题主体能够找到相应的途径，证明不等式②成立.萌生这一猜想，就为探究证明不等式②的新思路打开了一扇窗.

下面的教学设计预案就是基于这种想法产生的，在课堂上实施教学设计预案时，笔者启发学生利用“对称美”审美意向所作成的心理内驱力，据此鼓励与启发学生萌生具体的数学观念指令，即“将不等式②的右边的一项打开成某个具体数列的前n项和的形式表达式的数学观念指令”.这项数学观念指令是不容易萌生出来的，这就是“观念性疑难”；然而，在这一数学观念指令下，操作数学问题的具体信息时，又出现了困难，这就是“技术性疑难”.因此，关于这道题的数学教学设计及其课堂实施应该分为两个关键性环节，这里实录笔者的课堂教学活动过程：

一、教学设计环节一：突破“观念性疑难”

师：利用大家自己过去解题的经验，在一般的情况下，大家希望选择怎样的途径证明这个具体的不等式②？

生1：从过去解题经验中能够认识到要想证明不等式②成立，一般情况下要使用函数解析式①的条件，但是，通过探究发现，①②这两者联系仿佛有点远.目前，这个问题我解决不了.

师：对于证明不等式②大家还产生了哪些想法？

生2：我想，依据不等式②的形式特点，证明不等式②无须使用条件①.由于这是一个与正整数n相关联的不等式，于是，考虑使用数学归纳法证明.但可惜的是，在寻找“传递步”这个环节的计算上，我没有得到清晰可行的具体运算操作步骤.

师：生2提供了一种很好的想法，只要解决了计算上遇到的技术性问题环节，是可以达到解决问题目的的，大家可以自己去完成数学归纳法这种方法的证明.现在的问题是，既然使用数学归纳法存在计算上的疑难，那么可否绕过数学归纳法这种证明方法呢？

注：通过这种设计活动过程，学生复习自己经验中已经积累了不等式证明的几种常用方法，但这两种方法的构造活动或计算活动都比较复杂，难以探究出解决问题的清晰的思路.因此，在教学设计及其课堂实施中，笔者认识到，必须要启发学生萌生新的探究思路的方法.这是设计这一步的目的所在.

生3：不等式②左边为一个n项和的算式，其右边却只有一项，依据这样的特点，我想如果不等式②的左边通过计算得到一项，那么就容易与右边的一项进行比较了，遗憾的是，这是办不到的.

师：虽然生3的想法没有得到有效的结果，但是这种想法应该具有价值.这种想法的来源在于，不等式②中的不等号所连结的两边应该具有相似的形式结构，即不等式②的右边是一项，那么左边也应该是一项，这就萌生了将不等式②的左边这n项经由加法运算合并为一项的操作指令，经由试探，这是办不到的.同学们从生3的这种想法中能够获得怎样的启示呢？

生4：由于不等式②中的不等号所连结的两边应该具有相似的形式结构，这种特点既可以形成将不等式②的左边的n项通过具体加法运算，合成为一项的指令，也可以形成将不等式②的右边的一项打开成某个具体数列的前n项和的形式表达式的指令，可能有利于问题的解决.具体步骤我没有想好.

注：关于这种教学设计的意图，笔者经由很长时间的思考与实验，所形成的过程体现于下面的三方面：

1.学生在平时的学习中已经清楚地认识到，不等式的不等号(等号也一样)所连结的两边的形式表达式具有相似性，这种观念的最初来源于审美活动，它其实是解题主体的“对称美”审美意向所产生的心理内驱力的作用.生3就是在“对称美”审美意向心理内驱力作用下，已经意识到了这一点，但是由于在技术处理上受到“求简”消极思维定势的作用，只知道将不等式②的左边进行化简变形，而没有实现其逆向的操作，即将不等式②的一项打开成一个数列的前n项的求和形式.更深入地探究，可以认识到，这种“求简”消极思维定势是如何干扰了思维活动的方向，它将主体的思维活动步入了固定的轨道，而蒙蔽了思维展开的其他可能更为有利的方向.

2.在教学设计及其课堂实施中，数学教师必须要软化“求简”固化而产生的消极思维定势的结果，其途径之一，就是“悬置”学生“求简”思维定势.试想，如果学生根本就没有过去的代数式“求简”这种数学观念，那么，他们对于“将不等式②的左边的n项合并为一项”与对于“不等式②的右边的一项打开成某个具体数理的前n项和”的心理内驱力运动方向具有同等的机会，而不仅仅是“求简”这一固定的方向.如此，在整个班级的教学过程中，就不会出现这种对于具体信息进行“求简”操作的“一边倒”的现象，部分学生会萌生出“将不等式②的右边的一项打开成某个具体数列的前n项和的表达式形式”这种数学观念指令，在这种数学观念指令下对于信息的操作行为活动，能够比较简便地探究出证明这个不等式的解题思路.

3.笔者针对学生思维所展现的心理内驱力所步入“求简”的消极定势方向，认识到必须要“悬置”这种“求简”数学观念指令及其操作活动，而不能把“不等式②的右边的一项打开成n项和”这样的数学观念指令，直接地奉送于学生.于是，帮助学生萌生这种的“操作信息的数学观念指令”，构成了笔者在教学设计时，想方设法解决这个问题的一项非常重要的任务.于是，通过设计相应的铺垫内容，启发学生萌生出将不等式②的右边打开成某个具体数列的前n项和形式，果然生4实现了目的.据此可以清晰地认识到，教师对于学生思维活动的心理环节的准确把握，和对于教学设计及其课堂实施具有极其重要的作用.到此发现，生4萌生出了这样的操作信息的数学观念指令后，剩下的问题就是经由计算验证这一指令的正确性了，这已经不再是“观念性疑难”，而只是“技术性疑难”了.

教学设计的第一个环节重在帮助学生突破“观念性疑难”，笔者利用“对称美”的审美意向，帮助学生消除了“求简”的消极思维定势，从中萌生出了“将不等式②的右边的一项打开成某个具体数列的前n项和的形式表达式的数学观念指令”，帮助学生萌生这种数学观念成为关于这道题教学设计中的重中之重.

二、教学设计环节二：突破“技术性疑难”

师：生4的“将不等式②的右边的一项打开成某个具体数列的前n项和的形式表达式的指令”，是一种非常好想法.我们试一试在这种指令下的操作活动，可否得到解决问题的具体思路呢？

师：在“将不等式②的右边的一项打开成某个具体数列的前n项和的形式表达式的指令”下，生5做了一系列的技术性工作，可惜没有达到最终目的.怎么办？

注：这一环节的教学设计主要是帮助学生突破“技术性疑难”，尽管学生对于使用“放缩”途径证明不等式已经积累起来不少解题经验，但是对于这道题的特点，选择两次使用具体的“放缩”方法加强不等式，学生也会感到极其困难.正是在围绕这种学生在使用具体操作信息的技术上，如所知，这两次“放缩”，虽然只是“技术性疑难”，但是笔者也在自己的教学设计及其课堂实施中，下足了功夫.

三、结束语

数学解题具有重要的教学价值，诸如，巩固数学知识、训练数学技能、开拓数学方法、萌生与定型相应的数学观念等.在解题主体面临具有相当难度的数学题(例如，数学高考压轴题)时，必须要突破两项不同性质的“观念性疑难”与“技术性疑难”，其中“观念性疑难”决定了“技术性疑难”，“技术性疑难”反作用于“观念性疑难”.数学教师在自己的解题教学设计中，要在这两项疑难及其相互关系中下足功夫.