胡国兴

(合肥幼儿师范高等专科学校，安徽 合肥 230013)

0 引言

1 基本概念和相关引理

1.1 基本概念

不动点是一个函数术语，在数学中是指“被一个函数映射到其自身一个点”。用数学语言描述为:给定函数f:R→R，如果x∈R使f(x)=x，称x为f的一个不动点。一般地，若y=f(u),又u=g(x)，则函数y=f(g(x))叫x的复合函数[5]，其中y=f(u)叫外层函数，u=g(x)叫内层函数，x为自变量，y为因变量，u为中间变量。函数f和g的复合运算也可简单写作f∘g。简言之:复合函数就是把一个函数中的自变量换成另一个函数所得的新函数。复合函数也可以由多个函数相继复合而成。

迭代[6]即重复执行一系列运算步骤,从前面的量依次求出后面的量的过程。此过程的每一次结果,都是由对前一次所得结果施行相同的运算步骤得到的。用数学语言描述为：设I是任意一个区间,函数f:I→I，将f反复地复合，产生f2(x)=f∘f(x)，f3(x)=f∘f∘f(x)。一般地，fn(x)=f∘fn-1(x)(n≥3)。则fn为f的第n次迭代。设函数φ在点t处可导，函数f在点x=φ(t)处可导，那么复合函数f∘φ在点t处可导，并且(f∘φ)′(t)=(f′∘φ(t))φ′(t)，即称为复合函数求导的链式法则。

1.2 相关引理

引理1[6]若f∘f有唯一的不动点, 则f也有唯一的不动点。

证明设函数f∘f有唯一的不动点a,即f∘f(a)=a。再设f(a)=b,则f(b)=f∘f(a)=a,f∘f(b)=f(a)=b,所以b也是f∘f的不动点,又因为f∘f有唯一的不动点,故b=a。从而f(a)=a,即a是f的不动点。如果f还有不动点c,则f∘f(c)=c,则c也是f∘f的不动点,由唯一性得c=a,所以a是f唯一的不动点。

引理2[6]设f:R→R,若f∘f有且仅有两个不动点a,b(a≠b),只有以下两种情况：1)a,b都是f的不动点;2)f(a)=b,f(b)=a。

证明1)如果a,b都是f的不动点,它们显然也是f∘f的不动点。

2)如果不是1)的情况,则a,b中必有一个不是f的不动点。不妨设a不是f的不动点,令f(a)=c≠a，由于f(c)=f(f(a))=a,f∘f(c)=f(a)=c。……