向跃明， 万欣

（怀化学院数学与计算科学学院，湖南怀化418000）

1 引言

在本文中，R是有单位元的结合环，所有的模都是酉模.除非另外提到，M表示一个左R-模，M*=HomR（M，R）.映射都记在右边.如果M是一个R-模，则M的根rad（M）为M的所有极大子模的交.若M没有极大子模，则rad（M）=M.J（R）表示R的Jacobson根.我们用N＜M表示N是M的多余子模.对于通常的符号，请读者参考文献[1-3].

元素a∈R是（von Neumann）正则元[2]，如果存在元素x∈R使得a=xax.如果一个环R的每个元素都是正则的，那么它称为正则环.类似于von Neumann正则环的元素定义，Zelmanowitz[4]称R-模M正则，如果对任何x∈M存在α∈M*使得（xα）x=x.元素a∈R称为半正则[5]，如果存在b∈R使得bab=b，并且ab∈J（R）.环R称为半正则环，如果环R的每个元素都是半正则的.例子包括所有的正则环，半完全环和右连续环等.此外，Nicholson还引入了一类半正则模，用以推广正则模和半完全模.一个R-模M的元素x称为半正则的，如果存在α∈M*使得（xα）2=（xα）并且x-（xα）x∈rad（M）.其给出了这些模的一些刻画，并证明了一个结构定理.在[6]中，如果R/J（R）是正则的，那么R就称为J-正则的.这里证明了如果R是J-正则的，则：（1）R是右n-内射的当且仅当R的n-生成的多余右理想到R的任意同态可以扩张到R到R的同态；（2）R是右FP-内射环当且仅当R是右（J，R）-FP-内射，一些已知的结果得以改善.

设R是环，M是R-模.在本文的第二节，我们称M的一个元素x为J-正则，如果存在α∈M*使得x-（xα）x∈rad（M）.如果模M的每个元素都是J-正则的，则称其为J-正则模.这类模是半正则模和半局部模的推广.我们讨论了J-正则模的一些性质.第三节专门研究了J-正则环的一些性质.证明了环R是J-正则的当且仅当每一个左R-模是……