姚箫生

摘 要：人类在发展生产和生活的过程中，难免会遇到很多计数问题，而有些计数问题，用直接的方法比较难以解决，在前人的经验基础之上，人们探索并创立了一种新的计数方法，其中就有容斥原理。本文通过研究运用容斥原理解决组合学中的组合计数问题的相关步骤及相关的题型，总结哪类组合计数问题可以运用容斥原理解决以及容斥原理解决这类问题的相关步骤。

关键词：容斥原理;排列;组合学

本文的工作就是总结出哪类组合计数问题可以运用容斥原理解决，以及总结出运用容斥原理解决这类组合计数问题的大致步骤。

本文主要讨论容斥原理在组合学中的应用。

1 容斥原理

容斥原理是由英国数学家詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特19世纪首次创立[10]。

我们知道运用容斥原理求解问题时，是将直接求解转换为间接求解，我们大学学过一个简单的定理，De Morgan定理。

1.1 De Morgan定理：若A和B是全集U的子集，则：

⑴∩;

⑵.

运用容斥原理求解时常会用到一些简单但又重要的基本公式。

1.2基本公式：设S是有限集，A、B、C∈S

⑴当时，;

⑵当时，;

⑶;

⑷;

⑸。

在求解问题时，我们要解决的要么是求，或是求，这两个我们其实可以把它们看成是对偶的，求解上述两个公式的值，就需要用到文献[11]中的两个定理：

2 容斥原理在组合计数中的相关应用

2.1 对元素在位置上存在限制的计数问题

这类问题也称为“错排问题”或者“重排问题”，由于错排问题最早被尼古拉·伯努利和欧拉研究，因此历史上也称为伯努利—欧拉的装错信封问题：在写信时将n封信装到n个不同的信封里，有多少种全部装错信封的情况？……