江明泽

摘 要：柯西-施瓦茨不等式是一个在数学许多方面当中都有应用的一个重要的不等式。本文主要介绍了几种关于柯西-施瓦茨不等式的几种证明方法和推广形式。

关键词：不等式;微积分;向量空间

1.介绍

柯西生于法国巴黎，其在很小的时候就表现出了极高的数学天赋，在数学领域有着很高的建树和造诣。施瓦茨，与柯西一样都是法国数学家，他主要在分析学、微分方程、几何学等数学分支有着深厚造诣。柯西-施瓦茨不等式就是以他们的名字来命名的。该不等式是由柯西在1821年所提出的，其積分形式是由俄国数学家布尼亚克夫斯基在1859年所提出，并且该积分形式的现代证明是在1888年被施瓦茨所提出。故而该不等式又被命名为柯西-布尼亚克夫斯基-施瓦茨不等式。柯西-施瓦茨不等式在微积分甚至其他数学领域中都有着广泛的应用。本文主要介绍了一些关于柯西-施瓦茨不等式的不同证明方法与推广形式。

2.柯西-施瓦茨不等式的证明

定理1若f（x）、f（x）在[a，b]上可积，则

证法 1重积分法

□

证法 2辅助函数法

构造辅助函数如下：

对两边求导有：

故F'（t）≥0，t∈[a，b]，即F（t）是增函数，当a<b时，F（b）≥F（a）=0，

□

证法 3内积法

引理1 对于向量空间V的任意两个向量α，β有以下不等式：

下面利用该引理来证明。

首先在区间[a，b]上定义：

其中f（x），g（x）为[a，b]上的可积函数，接下来要证是向量空间上C[a，b]的一个内积。

（1）任取，有唯一的对应

（2）

（3）

（4）

其中k为任意实数

（5）若，则

所以是连续函数空间C[a，b]上的一个内积。

由得

故由引理有

即

□

3.柯西-施瓦茨……