刘璇 许楠桸 郭欢 许璐

摘 要：不等式的证明在高考数学中既是重点又是难点，利用函数与方程的思想构造函数或者是寻找中间函数利用导数的性质和几何意义证明不等式是常用方法之一，本文归纳总结了利用导数证明高考数学中不等式的常用方法，并结合高考数学试题加以分析说明。

关键词：导数;不等式证明;构造函数

高中数学中，有均值不等式、重要不等式、绝对值不等式、柯西不等式等几个重要的不等式，它不是孤立存在的。在函数、数列、解析几何、向量中，几乎所有数学都是有不等式知识的，可以说不等式贯穿了整个高中数学，即使在大学里面的微积分，不等式也是证明的利器。高考数学中，单独考查不等式的大题不多，但是大部分题目里面都会体现，不等式在高考数学中占有十分重要的地位，而利用导数的有关性质证明不等式是最常见的方法。下面将介绍利用导数证明不等式的几种常用方法.。

一、构造函数直接求导法：

即先把不等式的证明通过转化与化归的思想转化为利用导数研究函数的单调性或者是求最值问题，从而证明不等式，这里如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是利用导数证明不等式的关键。如欲证不等式（或），只需证明（或）即可。则可构造函数（或），即证（或）.如果，那么即证（或）.

接下来，若能证得函数是增函数即可，这往往用导数容易解决。

评 注：这里证明分三个步骤：一是构造函数（常利用作差法）;二是对构造的函数直接求导，判断其单调性;三是求此函数的最值，得出结论。但是，这里需要注意的是构造的函数在定义域内的导数存在且此时函数的最值也存在才行，否则不能直接利用作差法来构造函数，再利用单调性去证明。

二、分拆区间设而不求法：

有些函数它不是单调的，不能直接利用求导判断其单调性，如证明不等式：（x>-1）。通过构造函数，显然不能直接判断它在定义域内的单调性，直接用函数的单调性法来证明，但可以通过分拆其函数区间，证明该函数在上分别是减函数、增函数，进而可得结论成立。

评注： 欲证函数不等式，只需证明.设，即证，也即证（若不存在，则须求函数的下确界），而这用导数往往容易解决。也就是说，当构造的函数不能直接利用单调性判定时，可以分析其区间来寻求其最值或求其函数的确界。

三、利用函数最值证明法

即欲证函数不等式是区间）恒成立，只需证明，而这用导数往往可以解决。它在证明一些复杂的数列不等式中经常用到，其证明思路是将所组不等式转化为或恒成立的形式，进而转化为证明。

评注：对于某些不等式要求恒成立，我们往往可以求出函数的最小值和g（x）的最大值进行比较，特别是含参数的此类题的恒成立问题。

四、构造中间函数分析法

要证明不等式（或），想办法寻找出一个中间函数，使得（或）成立，如：（2013年高考新课标全国卷II理21（2）的等价问题）求证：.这里，我们设，我们想办法寻找出一个中间函数，使得且两个等号不是同时取到。当然，一般地，函数越简洁越好。

显然不可能是常数（因为函数的值域是R），所以我们可联想到导数的几何意义，尝试能否为一次函数，所以首先应当考虑切线. 可求得函数在点处的切线是，进而可得;还可求得函数在点处的切线也是，进而可得.最后可用导数证得且两个等号不是同时取到，所以欲证结论成立。

当然，这里也可以用前面的方法二设而不求法证明之。这也说明这些方法的等价性，只是在不同的问题中各自的侧重点不同罢了。

评注：  欲证函数不等式是区间），只需寻找一个中间函数（可以考虑曲线是函数的公切线）使得（或）成立且两个等号不是同时取到，而这用导数往往容易解决。

综上所述，对于一些函数不等式或数列不等式的证明，我们通常可以利用作差法构造出其函数，如果该函数的单调性和极值均存在，则直接利用求导得到单调性极值来证明;如果该函数的单调性或极值不存在，则分区间利用设而不求法来证明。另外，如果此方法都不行，则寻求中间函数（往往是一次函数）过渡来证明。还有，如果是已知不等式恒成立时，求所含参数的取值范围时，往往可以转化为求函数的最大值与最小值问题。

参考文献：

[1]许楠桸，许赛飞. 例谈“非等价转化”方法解高考数学题[J]，科学大众，2021（1）：274-280.

[2]邓伟民，潘琴. 提高学生数学解题方法探讨[J]，教育科学，2019（6）：326-327.

[3]黄如炎. 构建函数探寻不等式求证思路——以数学问题为例[J]，数学通报2019（12）.

[4]吴佐慧，爷瀚文. HPM视角下的基本不等式教学[J]，数学通报2020（6）.

[5]王新. 一类三角函数题的简解[J]，天府数学，2021（9）：254.

*基金项目：（1）面向个性化学习的学生认知能力分析研究與实践，湖北省教育厅资助项目（2018036）。

（2）基于中学数学教育的翻转课堂教学研究，湖北名师工作室基础教育研究项目（JJ16）2020.01-2021.12。

作者简介：刘璇，女，（1996.10-），江汉大学人工智能学院数学与大数据系数学教育研究生。

通讯作者：许璐，男，（1969.02-），副教授，研究方向：数学教育与应用数学。