湖南省长沙市雷锋学校(410217) 童继稀

湖北省恩施州教育科学研究院(445000) 周 威

一道试题通常包括显性要素和隐性内涵,而显性要素就是我们能看到情境与设问形式,隐性内涵包括试题立意、问题本质、核心素养的体现等,因此试题显性与隐性方面的共性研究包括试题立意、试题解法、试题设问等方面.[1]通过共性研究,可以帮助师生理清出题者的命题思路,构建数学知识体系,备考时做到整体把握,科学定位,精准发力,高效备考.本文对2021年新高考数学I 卷与Ⅱ卷中的解析几何大题作共性方面的相关探讨.

一、真题呈现

例1(2021年新高考I 卷第21 题)在平面直角坐标系xOy中,已知点点M满足|MF1|−|MF2|=2,记M的轨迹为C.

(1)求C的方程;

(2)设T点在直线x=上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且|TA||TB|=|TP||TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

解析(1)C的方程为x2−=1(x>0),过程从略.

(2)若过点T的直线的斜率不存在,此时该直线与曲线C无公共点.不妨设直线AB的方程为y −yT=与曲线C的方程联立,消去y并整理得(k21−16)x2+k1(2yT −k1)x+(yT −)2+16 = 0,则xA+xB=,xAxB=且

由|TA|=可得

设直线PQ的斜率为k2,同理可得

由|TA||TB|=|TP||TQ|,即整理可得k21=k22,即(k1−k2)(k1+k2)=0,显然k1−k2̸=0,故k1+k2=0.

因此,直线AB与直线PQ的斜率之和为0.

例2(2021年新高考Ⅱ卷第20 题)已知椭圆C的方程为= 1(a >0,b >0),右焦点为且离心率为

(1)求椭圆C的方程;

(2)设点M,N是椭圆C上的两点,直线MN与曲线x2+y2=b2(x >0)相切.证明:M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=

解析(1)椭圆C的方程为+y2=1,过程略.

(2)设直线MN的方程为x=my+n(n >0),由直线MN与曲线x2+y2=b2(x>0)相切,可得圆心(0,0)到直线MN的距离d==1,则n2−m2=1.联立直线MN与椭圆方程,可得(m2+3)y2+2mny+n2−3=0,则yM+yN=从而

充分性若|MN|=即解得m2=1,则n=√可得直线MN过点即M,N,F三点共线.

必要性若M,N,……