广州市第七中学(510080) 冯 燕 陈世明

有如下一道流传甚广的解几题:

题目已知椭圆C:= 1,过点A(1,1)的两条直线MN和PQ分别交椭圆C于M、N、P、Q四点,直线MN和PQ的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=1,线段MN和PQ的中点分别为E、F,求证: 直线EF过定点.

对于本题,下面的证法一是较为常规的解法..

1 思路自然,计算很繁

证法一依题意,直线MN的方程为y −1=k1(x −1),直线PQ的方程为y −1=k2(x −1),联立

得到3x2+4(k1x −k1+1)2=12.即

设M(x1,y1),N(x2,y2).因为A(1,1)在椭圆的内部,所以x1,x2必是上述方程的两个实根,所以

所以

所以直线EF的方程为:

要证直线EF过定点,首先应考虑

是否为定值.因为k1+k2=1,所以

故直线EF过定点

证法一的基本思路是: 求出过A点的直线方程→联立方程组→消去一个未知数得到一个一元二次方程→韦达定理→中点公式→得出E、F坐标→求出直线EF的方程→证明直线EF过定点.这种解法思路容易想到,但计算很繁,一般学生都算不出最后的结果.这导致我们思考: 对于此题,有没有简单的解法?

2 巧思秒想,简单求解

从上述证法可以看出,证法一的计算很繁琐,困难主要在于求kEF和化简直线EF的方程上,若能联想到E,F是椭圆内过点A的动弦的中点轨迹上的两点,则计算就简单许多.

证法二首先,设过椭圆C内的定点A(1,1,)的动弦ST的中点G坐标为(x,y),S(s,t),T(m,n),则s+m=2x,t+n=2y,由

由① ②得kEF=所以

即

由①,②又得到

因为k1+k2=1,所以一方面:

另一方面:

由③,④得3x1x2+4y1y2=−3(y1+y2−1),

证法二的关键是: 想到了E、F是椭圆内过点A的动弦的中点轨迹上的两点,从而应用“设而不求”的思想求得了直线EF的方程,再通过对k1+k2=1“算两次”,巧妙地化简了直线EF的方程,从而简单地证明了直线EF过定点.

证法二还告诉我……