广东省佛山市第一中学(528000) 刘振兴

圆锥曲线是每年高考必考题,有较强的区分度.《普通高中数学课程标准(2017年版)》中提出对圆锥曲线“重点提升直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养”.要求学生“能够掌握平面解析几何解决问题的基本过程: 根据具体问题情境的特点,建立平面直角坐标系;根据几何问题和图形的特点,用代数语言把几何问题转化为代数问题;根据对几何问题(图形)的分析,探索解决问题的思路;运用代数方法得到结论;给出代数结论合理的几何解释,解决几何问题.”遵循新课标思想,笔者对2021年佛山二模第20 题的解法进行探究,对结论进行了推广.

一、预备知识

在文献[1]第15 页习题6 中有如下结论.

引理1若PQ是椭圆=1(a>b>0)上对中心张直角的弦,则

在双曲线中,也有类似的结论.

引理2若PQ是双曲线=1(b > a >0)上对中心张直角的弦,则

证明设P(asecα,btanα),Q(asecβ,btanβ),则kOP·kOQ==−1,所以sinαsinβ=

二、试题呈现

题目(2021年佛山二模第20 题)已知椭圆C:=1(a>b>0)的某三个顶点形成边长为2的正三角形,O为C的中心.

图1

(1)求椭圆C的方程;

(2)P在C上,过C的左焦点F且平行于OP的直线与C交于A,B两点,是否存在常数λ,使得|AF|·|BF|=λ|OP|2? 若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.

三、解法探究

解(1)+y2=1(过程省略);以下考虑(2)的解答.

解法1(两点间距离公式法)由题意知,显然AB的斜率不为0,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为:x=my −将其与+y2= 1 联立得(m2+3)y2−−1 = 0,所以y1+y2=从而

直线OP方程为x=my,将其与+y2=1 联立得所以|OP|2= (1 +m2)yP2=所以|AF||BF|=因此存在使得|AF|·|BF|=λ|OP|2.

评析直线与椭圆综合问题,最基本的方法是联立直线与椭圆,利用两点间距离公式求|AF|·|……