广东省广州市大同中学(510545) 袁 安

“裂项相消法”求数列的前n项和,是一种强大的数列求和方法,并不是只局限于某几种类型,对于高中出现的数列求和基本都可以用“裂项相消法”进行求和.

1 裂项求和的基本原理

学习不能凭空产生,应在学生原有知识的基础上进行教学.对照新旧知识,识别出“裂项相消万能求和法”的关键特征,培养学生的观察分析能力,使学生能直观地意识到新旧方法之间的不同和联系,再通过数学抽象得到“裂项相消万能求和法”的公式和数学思想.让学习始终保持在最近发展区进行高效学习.

原理1数列{an}的通项an与前n项和sn的关系:

原理2如果数列{an}的通项an可以表示成an=f(n+ 1)−f(n),则数列{an}的前n项和sn= [f(2)−f(1)]+[f(3)−f(2)]+[f(4)−f(3)]+···+[f(n+1)−f(n)]从而化简得到sn=f(n+1)−f(1)

由两原理得到“裂项相消万能求和法”的核心数学思想:把原数列{an}的通项an分解成一个新数列{bn}的间距相等的两项之差的形式.对分解后bn的2n项进行相加求和,bn中间的多数(无穷)项可以相互抵消,达到化繁为简,化无穷为有限,最后只需求余下的几项之和.

归纳总结出数列{an}裂项求和的方法: 若数列通项an可以分解成一个新数列bn的后一项与前一项或(等距项)之差即

(1)若an=bn+1−bn时,sn=a1+a2+...+an,sn=(b2−b1)+(b3−b2)+...+(bn+1−bn),sn=bn+1−b1.

(2)若an=bn+2−bn时,sn=a1+a2+...+an,当n= 1 时,sn=b3−b1,当n≥2 时,sn= (b3−b1)+(b4−b2)+...+(bn+2−bn),sn=bn+2+bn+1−b2−b1,经验证可知,上式对n=1 也成立.

2 培养学生的逆向思维,理解“裂项相消法”的本质

“裂项相消万能求和法”,强调学生对数列通项公式an结构特点形式的理解,注重考查学生对知识的积累,及其逆向使用.这要求学生掌握数学代数运算的特点和本质,不能只……