广东省东莞市东莞实验中学 尹淑芬

学生在初中阶段已经对尺规作图作角平分线、线段的垂直平分线比较熟练,也能作出圆的切线.但是来到高中阶段,学生大多不能作出圆锥曲线的切线.于是笔者查阅了关于利用尺规作图法过椭圆上一点作切线的论文,发现大多数作法都步骤繁多,因此笔者就在本文介绍利用尺规作图作出椭圆的切线的几种简洁作法.

设点P为椭圆上一点,要过点P作椭圆的切线.

作法一

(1)连接PF1,PF2;

(2)构造∠F1PF2的内角平分线PM;

(3)过点P作PM的垂线l,

直线l即椭圆在点P处的切线.

图1

证明(椭圆的光学性质)

如图1,设点P(x0,y0)是椭圆=1(a>b>0)上的一点,∠F1PF2的角平分线交椭圆的长轴于点M(m,0).对椭圆方程两边求导,= 0,得y′=即椭圆上在点P的切线斜率为

根据角平分线的性质可知:

化简可得m=直线PM的斜率为由于直线l是直线PM垂线,所以直线l的斜率为所以直线l为椭圆在点P处的切线.

作法二

(1)过椭圆的左顶点A1作长轴的垂线连接PA1;

(2)作出线段PA1的中点D,O为椭圆的中心,连接OD交长轴的垂线于点Q;

(3)连接PQ,

图2

直线PQ即椭圆在点P处的切线.

证明设点P(x0,y0)是椭圆= 1(a > b >0)上的一点.A1(−a,0),D(),lOD:y=可得

所以直线PQ为椭圆在点P处的切线.

作法三

(1)A1,A2是椭圆的左右顶点,连接A1P;

(2)过点P作椭圆长轴的垂线,垂线交椭圆于点Q;

(3)连接QA2交A1P于点M;

图3

(4)过点M作椭圆长轴的垂线,垂足为N;

(5)连接PN,

直线PN为椭圆在点P处的切线.

证明设点P(x0,y0)是椭圆= 1(a > b >0)上的一点.由作法的证明得知,在点P处的切线斜率为,Q(x0,−y0),A1(−a,0),A2(a,0),联立两直线的方程:

解得xM=得

所以直线PN为椭圆在点P处的切线.

本文提供的几种椭圆切……