浙江省宁波效实中学(315012) 童益民

函数中有一类综合性的问题是有解与恒成立问题,对于含有“或”与“且”的有解与恒成立问题更是其中的重点与难点.对于该类问题,很多学生在理解上存在一定的误差,要想很好的掌握去解决,更是存在一定的难度,在文[1]中,已对含绝对值的恒成立问题进行了研究.本文试图从更基础的角度出发,在理解存在量词与全称量词的基础上,得出各种形式的有解与恒成立问题的等价条件,进而对双重有解与恒成立问题的解析,使得对该类问题有系统与整体的认识.

一、有解与恒成立符号语言表述的改进

在人教版A 版普通高中课程标准试验教科书(2005年)数学选修2-1 中,全称命题p:∀x ∈M,p(x); 它的否定¬p:∃x0∈M,¬p(x0);特称命题p:∃x0∈M,p(x0);它的否定¬p:∀x ∈M,¬p(x).

在人教版A 版普通高中教科书(2019年)数学必修第一册中,全称量词命题:∀x ∈M,p(x); 它的否定:∃x ∈M,¬p(x); 存在量词命题:∃x ∈M,p(x); 它的否定:∀x ∈M,¬p(x).

从上面两个版本的表述中,差别很明显的是前一个版本的特称命题中用∃x0∈M,后一个版本的存在量词命题中用∃x ∈M.∃x0∈M指存在某一个x0,强调能找到一个的意思;∃x ∈M指存在一个或一些x;x0更多的是理解为常量,而x更多的是理解为变量,可以是一个动态的变化过程.

题目1(2016年浙江高考数学理科试题第4 题)命题“∀x ∈R,∃n ∈N∗,使得n≥x2”的否定形式是( ).

A.∀x ∈R,∃n ∈N∗,使得n

B.∀x ∈R,∀n ∈N∗,使得n

C.∃x ∈R,∃n ∈N∗,使得n

D.∃x ∈R,∀n ∈N∗,使得n

对于命题“∀x ∈R,∃n ∈N∗,使得n≥x2”的表述形式,为什么没有采用前一个版本中的“∀x ∈R,∃n0∈N∗,使得n0≥x2”,这两种表述形式在理解上是否会造成不同意思,需要我们去体会研究.

对于命题p:“∀x ∈R,∃n ∈N∗,使得n≥x2”的理解,认为当x取不同……