山东省滨州实验中学(256600) 陈凤华 李俊岭

高考试题凝聚了许多专家学者的心血和智慧,往往具有进一步扩展其数学价值和教育价值的可能性.2021年高考北京数学卷第20 题构思精巧,解法多样,内涵丰富,是一道具有研究性学习价值的好题.在教学中不应仅仅满足学生会解,还需对其它方法进行探究,并引导学生深入研究试题背后的知识背景,挖掘问题的本质,让学生学会用更高观点去看待数学问题,把握问题的本质.这样才能充分发挥高考试题的价值,进一步培养学生良好的思维品质,将数学素养落到实处.以下是笔者对题目第(Ⅱ)问与学生展开探究,揭示问题本质的过程,以供读者参考.

一、试题呈现

题目1已知椭圆E:= 1(a > b >0)过点A(0,−2),以四个顶点围成的四边形面积为

(I)求椭圆E的标准方程;(答案:

(Ⅱ)过点P(0,−3)的直线l斜率为k,交椭圆E于不同的两点B,C,直线AB,AC交y=−3 于点M,N,若|PM|+|PN|≤15,求k的取值范围.

本题考查了椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、直线的方程、三点共线等知识.求解考查了运算能力和推理论证能力.题目涉及到了函数与方程的思想、数形结合的思想、化归与转化的思想,并用到了待定系数法、代入法、消元法.本题既体现了解析几何问题的数学本质,又落实了对数学核心素养的考查.

二、解法探究与评析

解法1设直线l的方程为y=kx −3,与联立得(5k2+4)x2−30kx+25 = 0.其中Δ = (30k)2−4(5k2+4)·25>0,即k2>1.设B(x1,y1),C(x2,y2),由韦达定理得,

设M(xM,−3),N(xN,−3).由A,B,M三点共线得xM=由A,C,N三点共线得xN=于是

所以1<|k|≤3,即−3 ≤k <1 或1

评析(1)通过上面的解答过程发现|PM|+|PN|的结果是关于k……