广东省中山市桂山中学(528463) 蔡晓波

一、题目再现

题目(2019年江苏数学高考卷第12 题)如图1,在ΔABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE= 2EA,AD与CE交于点O.若则的值是____

图1

该题有很多的解法,网上不难找到,故这里解答从略.

该题十分巧妙,根据题目的意思,我们不难发现,不管ΔABC是什么形状,只要满足D为中点且便可以求出的值.

于是,笔者不禁思考如果变动该题中E,D点的位置时,条件“中的系数该如何变动才能求出的值呢? 如果知道的值,那么能否推出与的关系吗? 基于以上思考,笔者对该题进行探究推广,现将探究结果展示如下,望同行批评指正.

二、相关结论

引理如图2,在ΔABC中,若1,µ ̸= 1,λµ ̸= 1),直线CD交直线BE于O,则

图2

证明取作为基底可得:故

同理可证:

图3

结论1如图3,在ΔABC中,若且(1−λ)(1−µ)µ >0),且则:

证明下面仅证明(1).由于所以

下面先证充分性:

下证必要性:

故(1−λ)(1−µ)= 0.故=

评注显然,令λ=时,便可到2019年江苏数学高考卷第12 题的模型.

该结论揭示了在知道λ,µ的情况下,如何构造中m的系数,从而可以求出的值.也揭示了在已知的情况下,可以求出中m的系数.

根据该结论,我们可以得出如下推论:

推论1.1如图3,在ΔABC中,若(0<λ<1),E为AC中点,则有:=0 的充要条件是ΔCBD∽ΔABC.

证明由E为AC中点可得:此时2µ−λµ−1=

由结论1 可得:的充要条件是:依题意可得1−λ=故可得:等价于:注意到∠ABC=∠CBD可得:等价于ΔCBD∽ΔABC.又因为可化为故的充要条件是ΔCBD∽ΔABC.

评注显然,ΔCBD∽ΔABC等价于BC2=BA·BD,从形式上与初中所学的直角三角形的射影定理十分相似,故在推论1.1 中,当∠ACB= 90°,且E为AC中点时,=0 充要条件为CD⊥AB.

对于推论1.1,我们不禁思考,在ΔABC中,如果D,E均为中点,是否存在满足要求的三角形使得ΔCBD∽ΔABC与ΔBEC∽ΔABC同时成立……