福建省厦门第一中学(361003) 黄昌毅

福建省厦门双十中学(361009) 白福宗

1 试题与解析

题目1(2021年全国高考乙卷理科第11 题)设B是椭圆C:=1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范围是( ).

分析试题以椭圆为背景,考查椭圆上动点到上顶点距离最大值问题.从图形直观判断,椭圆离心率越小,则椭圆越圆,当椭圆退化为圆时,由圆的性质可知直径为最长弦,满足条件;椭圆离心率越大,椭圆越扁,从而椭圆下顶点未必是离上顶点最远的点,即选项A 和B 显然错误.从代数角度分析,可以先求出|PB|的表达式,转化为熟悉的不等式恒成立问题,也可求出的最大值,转化为解不等式|PB|max≤2b.从几何角度出发,即圆x2+(y −b)2= 4b2与椭圆有且仅有一个公共点(下顶点).试题呈现“低起点,多层次,高落差”特征.

解法1设P(x0,y0),−b≤y0≤b,则有= 1,设c2=a2−b2,则

②当−> −b,即b2< c2时,则有≤2b,化简得(c −b)2≤0,显然不成立;

综上,0

解法2同解法1 得|PB|2=x20+(y0−b)2=a2(1−)+(y0−b)2≤4b2恒成立,即−2by0+c2−2b2≤0,即(y0+b)≤0,又−b≤y0≤b,则有≤0 恒成立,即y0≥恒成立,即−b≥解得b2≥c2,即0

解法3由解法1 可知|PB|2=−2by0+a2+b2,依题意知f(y0)=+a2+b2≤4b2=f(−b),又因−b≤y0≤b,由二次函数性质可知f(y0)在[−b,b]上单调递减,从而极大值点y0=位于[−b,b]的左侧,即≤−b,即b2≥c2,即0

小结解法1、解法2、解法3 通过假设动点P(x0,y0)坐标,得到|PB|2表达式.解法1 将恒成立问题转化为|PB|max≤2b,通过分类讨论求弦长最大值,计算较为复杂;解法2、解法3 抓住不等式取等条件y0=−b这一隐含条件,解法2 将不等式进行因式分解,从而将二次不等式化为一次不等式,降低运算难度;而解法3 则将恒成立问题转化为二次函数单调性,大幅度降低运算量和运算难度.

解法4设P(acosθ,bsinθ),则|PB|2=a2cos2θ+(bsinθ −b)2≤4b2恒成立,化简得即sinθ≥恒成立,即−1 ≥解 得a2≤2b2,即0

解法5①当P(0,−b)时,|PB|=2b满足条件……